السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
سبق أن درست النهايات في المرحلة الثانوية ونسيت كل شيء يتعلق بها ومتأكد أنني لم أفهمها جيداً وقتها. ويوم أمس درسنا أول موضوع في منهج التكامل وبدأ بموضوع النهايات, وأيضاً لم أتمكن من فهم فكرتها, ففكرتها ليست واضحة لي.
بحثت في قوقول وبعد قرأءة عدد من المواضيع وتجربت هذه الآلة الحاسبة [1] بدأت تتكون لدي صورة عن مفهوم النهايات وسأحاول تقريب مفهومها لك [2].
- إذا أردت تجربت الأرقام في الموضوع وصادفت x-> لانهاية ضع في الخانة Compute at الكلمة inf.
- رجاءً أن تنبهني إذا كان هناك أي خطأ.
لو كان لدينا مربع ودائرة :
المربع له أضلاع والدائرة مجرد خط منحني على نفسه. لو قُمنا بإضافة ضلعين وعدلنا أطوال الأضلاع لتصبح متساوية فنحصل على سُداسي أضلاع :
ولو إستمرينا وإستمرينا في إضافة مزيد من الأضلاع وتصحيح أطوال الأضلاع:
فسنجد أن الشكل بدأ يقترب لشكل الدائرة وفي مرحلةٍ ما سنكاد نجزم أن الشكل أصبح دائرة إلا أننا لو كبرناه فسنجده لايزال عديد الأضلاع :
ومن المستحيل له أن يُصبح دائرة لو إستمر للانهاية. لو إستخدمنا النهايات مع هذه التجربة :
فالنهايات تدرس القيمة التي تُحاول دالة ما الوُصول إليها فقد تصل لها ويكون ناتجها القيمة التي وصلت لها أو قد لاتصل , كما في مثل تجربتنا, وستعطيك القيمة التي تقترب منها الدالة. أي أنها "قد" تعطي قيمة تقريبية.
لو جربنا هذا مع 
مثلاً ونظرنا للأرقام التي ستعطينا :
ستلاحظ أن الأرقام بدأت بالتضخم والتخضم وفي مرحلة ما سيصبح الرقم هائل جداً ويقترب من النهاية إلا أنه لايُمكن له أن يصل للنهاية, فالنهاية أكبر من أكبر رقم يُمكنك تخيله, لو جربنا تلك الحاسبة فستقول أنه فعلاً الرقم يقترب للنهاية :
وعلى العكس مع 
, فلو عوضنا الـx فسنجد أن الرقم بدأ يصغر ويصغر :
لنبدأ بالحصول على قيم ضئيلة جداً جداً وتستمر بالصغر. نلاحظ أن الرقم يقترب للصفر , التلاشي, ولكنه لايُمكن له أن يصل له. لو إستخدما الحاسبة فستقول أن حلها مُساوي للصفر :
في التجربة وضعنا x دائرة, ماذا لو وضعناها ثُماني أضلاع, جعلنا لها نهاية ؟ :
سيبدأ الشكل من الإقتراب لثماني الأضلاع وسيصل إليه :
إذاً الجواب :
ولو طبقناها على الدالة:
في حالات لاتكون هناك نهاية ,فلو جعلنا الصفر حد هذه النهاية صفر :
فستعطي لك الحاسبة :
اقتباسAttention:infinity is a complex infinity (does not exist in real numbers space).
أي أنه لاتوجد نهاية حقيقة لهذه الدالة, فعندما تصل للصفر سنقع بمشكلة القسمة على الصفر.
طبعاً هناك نظريات وقوانين تستخدم لإيجاد النهايات إلا أن هذا أخر ماوصلت له.
بالتوفيق.
