ماهي طريقة حل ال Congruence Relation من الدرجة الثالثة؟

بدأه Khaled.Alshaya في 22 مارس 2010 · 8 رد · 1,534 مشاهدة · في الرياضيات والخوارزميات

مشاركة: واتساب X فيسبوك تيليجرام

#122 مارس 2010 في 14:59 صاحب الموضوع

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته,

كيف أستطيع حل Congruence Relation من الدرجة الثالثة كالتالي:

LaTeX

$p><p>$

حيث أن المطلوب إيجاد جميع قيم x الصحيحة في الفترة:

LaTeX

$p><p>$

تحياتي,

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة Khaled.Alshaya في 22 مارس 2010 في 15:01

Follow me on bitbucket

#228 مارس 2010 في 18:08

العدد 1 حل للمعادلة كيفما كان $mimetex.cgi?n$ . لكن طالما أن السؤال يشترط $mimetex.cgi?1<x<n$ ، فيجب البحث عن الحلول الأخرى والتي يمكن إيجادها إذا أعطينا قيمة محددة لـ $mimetex.cgi?n$ .

مثلا من أجل n=7، نجد أن 2 و 4 يحققان المعادلة.

من أجل n=5، مجموعة الحلول فارغة.

حسب ما يبدو لا نستطيع كتابة حل عام لهذه المعادلة بدلالة $mimetex.cgi?n$

$mimetex.cgi?x^3 - 1 \equiv 0 (mod n)$

$mimetex.cgi?(x-1)(x^2 + x + 1) \equiv 0$

إذا كان n أوليا فإن $n\mathbb{Z}$ حلقة كاملة

أي أن

$mimetex.cgi?x \equiv 1 (mod n)$ أو $mimetex.cgi?x^2 + x + 1 \equiv 0 (mod n)$

ويمكن كتابة هذا الحل الأخير على الشكل

$mimetex.cgi?(x + 1)^2 \equiv x (mod n)$

أي أنه هناك حل مربع في $n\mathbb{Z}$

MPSI/MP* - CPR Tanger

#329 مارس 2010 في 18:27

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

اعتقد يمكن ايجاد الحل كما هو بالصورة المرفقة

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة fmgret12 في 29 مارس 2010 في 18:55

#429 مارس 2010 في 19:16

السلام عليكم ...

شكراً لكم أخواني على المساعدة,

الحقيقة لا أدري ماذا أقول, و لكن يبدو أني أحتاج للكثير قبل أن أستطيع حل هذا النوع من المسائل, لذلك اعذروا جهلي :)

كنت قد تعلمت الـ Linear Congruence و أثار انتباهي هذا النوع من المسائل غير الخطية, و لكن كما قلت سابقاً, ربما أحتاج إلى قليل من الـ Abstract Algebra قبل أن أفعل ذلك,

شكراً لكم من جديد,

تحياتي...

Follow me on bitbucket

#529 مارس 2010 في 21:21

أخي الكريم fmgret12

أخشى أن حلك غير صحيح. لا يمكننا المرور من السطر

$mimetex.cgi?(x-1)(x^2 + x + 1) \equiv 0$

إلى

$mimetex.cgi?x - 1 \equiv 0 (mod n)$ أو $mimetex.cgi?x^2 + x + 1 \equiv 0 (mod n)$

إلا إذا كان n أوليا. وذلك كي تكون $n\mathbb{Z}$ حلقة كاملة.

كما تعلم، نقول أن الحلقة $mimetex.cgi?(A,+,\times)$ كاملة إذا كانت لا تحتوي على قواسم الصفر و $mimetex.cgi?A \neq \{0\}$ . بمعنى آخر:

$mimetex.cgi?\forall (a, b) \in A^2,\ a\$

مثال بسيط يكون فيه الجداء (حاصل الضرب) يساوي 0 مع أن العوامل تخالف 0:

إذا أخذنا $mimetex.cgi?n=6$ ، لدينا في $6\mathbb{Z}$ :

$mimetex.cgi?\bar{2}.\bar{3} = \bar{0}$

في حين أن $mimetex.cgi?\bar{2} \neq \bar{0}$ و $mimetex.cgi?\bar{3} \neq \bar{0}$

والسبب أن 6 ليس أوليا.

آخي الكريم خالد

إذا كان هذا سؤال من مسألة أكبر، فربما يمكن حلها بطريقة أخرى دون دراسة هذه المعادلة.

سنحتاج إلى نص المسألة كاملا في هذه الحالة: )

MPSI/MP* - CPR Tanger

#629 مارس 2010 في 22:30

أهلاً أخي caballero,

هذا هو السؤال الذي أتكلم عنه:

Problem 271

اعذرني إن كنت سأخرج خارج الموضوع, و لكن ماهو مجال دراستك بالضبط,

أحس كأني لم أتخطى الإبتدائية في الرياضيات :P

أتمنى أن تنصحني بكتاب كمقدمة للـ modern mathematics, فأنا أود دراسة الموضوع بشدة و لكن المصطلحات ترهقني دائماً :)

سآخذ مقدمة بسيطة في نهاية الفصل في الـ Abstract Algebra و لكن أود التوسع أكثر,

تحياتي....

Follow me on bitbucket

#730 مارس 2010 في 02:12

أظن أنه يمكن حل هذه المسألة بإستعمال المبرهنة الصينية للبواقي.

سأحاول معها غدا إن شاء الله،،

اقتباس
و لكن ماهو مجال دراستك بالضبط

حاليا أدرس في السنة التانية من الأقسام التحضيرية للمدارس العليا. نظامها مختلف جذريا عن الجامعة، ويركز بشكل أساسي على الرياضيات والفزياء. نختار التخصص السنة القادمة، بعد النجاح في إمتحان وطني بالغ الصعوبة.

ندرس هذه الفصول في المغرب في السنة الثانية ثانوي. كتابنا المدرسي كان ممتازا ومفصلا بحيث يغنينا عن البحث في مصادر أجنبية. لذلك لا يحضرني إسم كتاب بالإنجليزية. إذا كنت تجيد الفرنسية فسلسة J'intègre ستكون أكثر من مناسبة.

وجدت هذا الكتاب Abstract Algebra: Theory and Applications ، لعل الإخوة الكرام يستطيعون إقتراح كتب أفضل.

MPSI/MP* - CPR Tanger

#830 مارس 2010 في 15:27

تلميح للحل:

في البداية، إستعملت Mathematica لتفكيك العدد 13082761331670030 إلى جداء عوامل أولية.

FactorInteger[13082761331670030]
{{2, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {17, 1},
{19, 1}, {23, 1}, {29, 1}, {31, 1}, {37, 1}, {41, 1}, {43, 1}}

العدد 13082761331670030 هو جداء جميع الأعداد الأولية من 2 حتى 43. من هناك جاءت فكرة المبرهنة الصينية.

ذكرت في مشاركتي الأولى أن هذه المعادلة تقبل حلا مربعا في $n\mathbb{Z}$ إذا كان n أوليا. وهي الحالة التي ندرسها.

الخطوة الأولى تكمن في إيجاد الحلول المربعة لكل معادلة من المعادلات التالية:

$mimetex.cgi?x^3 \equiv 1 (mod 2)$