حل معادلات الدرجة الثالثة كيف؟

هناك طرق لحل المعادلات من الدرجة الثالثة و الرابعة أما فما فوق أعتقد Numerical Techniques

اهلا وسهلا ،،

بالنسبة لحل المعادلات من الدرجة الثالثة ،،

يجب عليك ان تقوم بتخمين قيمة واحدة للمتغير x .

وبعد ذلك باستخدام القسمة المطولة راح تطلع لك

معادلة من الدرجة الثانية * x-القيمة التي قمت بتخمينها

وحل معادلة من الدرجة الثانية بسيط جدا ،،

وطبعا راح تجيك ثلاث حلول "النظرية الاساسية في الحبر"

مثال سريع :

x^3+x^2=0

هنا القيمة التخمينية ل x هي -1 والتي تحقق المعادلة.

بعد ذلك اقسم :

x^3+x^2 على x+1

وبعدها قم بضرب ناتج القسمة * x+1 ،، وساوي المعادلة بالصفر.

وبالنسبة للدرجة الرابعة ،، قم بمحاولة تفريقها الى معادلتين ، كل منها من الدرجة الثانية .

وطبعا يمكنك استخدام الطرق العددية Numerical Method لحل هذه المعادلات ،، وكذلك المعادلات من الدرجة n بكل سهولة.

الى اللقاء،،

السلام عليكم ورحمة الله

الأخوة الكرام

من المعروف فى الرياضيات , ان حلول المعادلات الجبرية تمثل اهمية كبيرة جدا فى جميع التطبيقات. ورغم اهمية وحساسية موضوع ايجاد الحلول المضبوطه للمعادلات الجبريه بالنسبه للرياضيين , الا ان هذا الموضوع ارهق العلماء واخذ من وقتهم واهتماماتهم الكثير بدون الوصول لطريقة شافية لحل جميع المعادلات الجبرية.

كل محاولات العلماء لم تثمر الا عن ايجاد الحلول المضبوطه لاربعة حالات فقط من المعادلات

1 ) كثيرة الحدود من الدرجة الاولى

وتحل بالطريقة المباشرة كما هو واضح وحلها هو

2 ) كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

وتحل اما باستخدام التحويل الى حاصل ضرب كثيرتى حدود من الدرجة الاولى

او باستخدام قانون المميز

وهذا يعتمد على معاملاتها وسهولة تحليلهم.

3 ) كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة

وحلها يعتمد اولا على حذف الحد المحتوى على x^2 لتصبح على الصورة

ثم استخدام طريقة كاردان لحل المعادلة من الدرجة الثالثة , وحيث انها طريقة طويله , سأكتفى فقط بوضع رابط لها لمن يريد المزيد من المعلومات

طريقة كاردان

4 ) كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة

ولحلها نقوم بتحويلها الى حاصل ضرب معادلتين من الدرجة الثانية , وهذه تسمى طريقة فرارى لحل المعادلة من الدرجة الرابعة , وللمزيد من المعلومات عنها يمكنك مراجعة الرابط التالى

طريقة فرارى

هذه وهذه فقط الاربعة حالات الوحيدة التى توصل العلماء الى ايجاد الحلول المضبوطه لها مهما كانت المعاملات فى المعادلات.

اما كثيرات الحدود الاعلى من اربعة (خمسة فما فوق) , او المعادلات التى تحتوى على دوال مسترسلة ( دوال مثلثية او عكسية وغيرها ) فليس لها قانون عام وشامل يمكن الرجوع اليه لحل هذه المعادلات. وغالبا يتم ايجاد الحلول لهذه النوعية من المعادلات , باستخدام طرق تقريبية (اى طرق تجلب حلول مقربة) كما هو الحال فى علم وطرق التحليل العددى (Numerical Analysis). وللمزيد من المعلومات حول واحده من اهم واكفأ هذه الطرق يمكنكم مراجعة الرابط التالى

طريقة نيوتن

هذا والله اعلى واعلم , والله الموفق ,,,

شكرا جدا يا جماعة على التجاوب السريع

وصلت متأخرا :)

لا أضيف على كلام الأستاذ عماد سوى بضعة نقاط:

إذا كانت معادلة حدودية من الدرجة n تقبل حلا بديهيا، يمكن تعميل الحدودية المقرونة إلى جداء حدودية من الدرجة الأولى وحدودية من الدرجة n-1. فيؤول حل المعادلة إلى معادلة من الدرجة n-1

مثال 1: الحل البديهي:

سندرس في أية نقطة تنعدم دالة f من الدرجة الثالثة حيث

نلاحظ في البداية أن f(-1)=0، إذن العدد 1- هو جذر للحدودية.

نبحث عن الأعداد (α,β,γ) التي تحقق

لدينا

تكون حدوديتان متساويتان إذا وفقط إذا كانت معاملات حدودهما التي من نفس الدرجة متساوية مثنى مثنى. ومنه

أي أن

ومنه

وبما أن x²+1>0 فإن المعادلة تؤول في حلها إلى معادلة من الدرجة الأولى x+1=0 التي تقبل حلا حقيقيا وحيدا هو 1-.

مثال 2: معادلات تكتب على الشكل ax^4+bx²+c=0

نعتبر الدالة

لنحل المعادلة f(x)=0

نضع X=x²، لدينا إذن f(x)=7X²+4X-3

حلول المعادلة 7X²+4X-3=0 هي مربعات حلول المعادلة f(x)=0

إذن مجموعة حلول المعادلة الأولى هي

مثال 3: معادلات على الشكل ax + b√x + c

بعض المعادلات غير الحدودية يمكن أن تؤول في حلها إلى معادلات حدودية، مثل المعادلات التي تكتب على الشكل ax + b√x + c

لنحدد حلول المعادلة f(x)=0 حيث

نضع X²=x إذن f(x)=X²-4X-5

حلول المعادلة X²-4X-5=0 هي الجذور المربعة لحلول المعادلة الأولى.

معادلات من الدرجة الثالثة أو الرابعة:

توجد عدة طرق لحل هذه المعادلات

طريقة Tschirnhaus (طريقة عامة لا تنجح دائما)

طريقة Bézout (طريقة عامة كذلك لا تنجح دائما)

طريقة Cardan (لحل معادلات من الدرجة الثالثة)

طريقة Sotta (لحل معادلات من الدرجة الثالثة، وتحت شروط معينة يمكن تعميمها لحل معادلات ذي درجة أكبر)

طريقة Ferrari (لحل معادلات من الدرجة الرابعة)

طريقة Euler (لحل معادلات من الدرجة الرابعة)

طريقة Descartes (لحل معادلات من الدرجة الثانية والرابعة)

بالنسبة للمعادلات ذي درجة أكبر:

برهن إيفاريست غالوا Évariste Galois وكذلك نيلز هنريك آبل Niels Henrik Abel على أنه توجد معادلات حدودية درجتها أكبر من أو تساوي 5، لا يمكن حلها عن طريق جذور.

هذه المبرهنة يساء فهمها، فهي لا تقول بأن المعادلات من الدرجة الخامسة (فما فوق) لا يمكن حلها. فإذا كانت الحدودية حقيقية أو عقدية، والحلول العقدية مسموح بها، فإنها تقبل حلولا. وهذه بشكل آخر هي المبرهنة الأساسية في الجبر.

مع أن هذه الحلول لا يمكن حسابها بدقة، إلا أنه يمكن حساب قيم تقريبية لها بإستعمال طرق رقمية مثل طريقة Newton-Raphson أو طريقة Laguerre.

المبرهنة تقول بأنه توجد بعض المعادلات من الدرجة الخامسة (فما فوق) لا يمكن حلها بدقة مثل x^5 - x + 1 = 0. في حين توجد معادلات من الدرجة الخامسة يمكن حلها عن طريق جذور كما هو الحال بالنسبة لـ x^5 - x^4 - x + 1 = 0.

وقد حدد غالوا Galois المعادلات التي يمكن حلها عن طريق جذور والتي لا يمكن حلها عن طريق جذور في النظرية التي تحمل إسمه: نظرية غالوا Galois.