في هذه الصفحة من الويكي يوجد اثبات لمفكوك ماكلورين باستخدام التكامل بالتجزئ
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_theorem
وأحببت أن أضيف هنا إثباتي لهذه النظرية
نبدأ الإثبات الآن بعون الله
سنقوم بحساب قيمة الدالة وتفاضلها عند نقطة قريبة من نقطق الأصل بدلالة قيمة الدالة وتفاضلاتها عند نقطة الأصل كالتالي
ثم نقوم بحساب قيمة الدالة عند نقطة على بعد ضعف قيمة النقطة الأولى من نقطة الأصل كالتالي
بتكرار هذه العملية مرة أخرى نجد أن
لاحظ التشابه بين هذه الحدود وبين مفكوك ذات الحدين
ويمكن باستخدام الإستنتاج الرياضي إثبات الحالة العامة وهي كالتالي
سنقوم بوضع
فنحصل على
سنأخذ معامل التفاضل ونقوم بحسابه على حدة
ومنها يمكن حساب النهايات كما يلي
نرجع إلى المعادلة قبل السابقة فنجد
وهو المطلوب اثباته
يتبقى الآن جزئية هامة
من هذا الإثبات يمكن استنتاج أن القانون لا يصلح إلا إذا تحقق شرط أساسي
هذا الشرط هو تحقق النهاية التالية
هذا الشرط يحتاج إلى بعض التوضيح وسأقوم بتوضيح هذه النقطة لاحقا إن شاء الله