Generating Functions

غلط يا هيثم فكر شويه عندك 12 كرة من كل نوع وتريد ان تختار منهم 12 كرة بترتيب معين ماهو السبيل

ههههههههههههههههه والله فطستني من الضحك يا هيثم بتعليقك الاخير

اقتباس

تريد ان تضع 12 كرة من هذه الكور فى صف واحد بكم طريقة تستطيع ان ترتبها؟؟ هذا السؤال يمكن حلة بدون الاستعانة بEGF

لم أفهم سؤالك جيدا ياأحمد ,, انا فهمت أن ترتب ال 48 وكل 12 في صف منفصل ,,,

أم تقصد فقط أن تختار 12 عشوائيا وتضعهم كم طريقة لذلك ؟

في الحالة الثانية ,,

تكون القيمة في حال كانت الكرات السوداء ستفرق عن بعضها ,, 48 تباديل 12

أما إن لم تكن الكرات ذات نفس اللون تختلف عن بعضها فستكون 48 تباديل 12 مقسومة على تباديل 12

طيب خلينى اغير صيغة السؤال قليلاً والنتيجه واحده

لديك عدد لانهائي من كل لون وتريد ان تختار 12 كرة بترتيب معين كم طريقة هناك..

النتيجة يا احمدج غريب هي

قربت يا رومانوف بس برضو الاجابة مازالت غلط للاسف

تكون القيمة في حال كانت الكرات السوداء ستفرق عن بعضها ,, 48 تباديل 12

أما إن لم تكن الكرات ذات نفس اللون تختلف عن بعضها فستكون 48 تباديل 12 مقسومة على تباديل 12

يلا يا احمد غريب يبدو اننا لازم نراجع مقرر التباديل والتوافيق قبل فترة كنت راجعت العلاقات والان يبدو اننا سنضطر الى مراجعة المسائل كمان

اخى هيثم عدد الكور لا يلعب دور وقلت انه تخيل لو عندك عدد لا نهائي من الكور ماذا يحدث,,

نحن نختار 12 كرة بترتيب معين ولدينا 4 الوان اما عدد الكور الذى بحوزتنا لابد ان يكون 12 او اكثر حتى نستطيع إختيار 12 كرة من نفس اللون...

يا احمد غريب مستحيل ان الاجابة غلط انا الان انظر الى حل مسالة من كتاب:

المسالة تقول كم عددا ثلاثيا (من ثلاث خانات) يمكن تكوينه من الاعداد <1و2و3و4 و5>

وكان الناتج

الاترى ان المساله هذ مكافئة لتلك المساله؟!!

تستطيع إختيار الكرة الاولى ب 4 طرق.. يعنى لون من 4 الوان وكذلك الكرة الثانية والثالثة الخ

إذاً تستطيع إختيار الكور على النحو التالي

العملية اسهل من ما تتخيلو...

طيب حل المسئلة الثانية تقريباً بنفس السهولة, حاولو تفكرو شوية حتلاقو إن العملية مش طبيخ..

نعم مكافئة يا رومانوف ولكنك عكست الايه

الان غيرت النتيجة يا رومانوف إنتا كنت كاتب

الاول

طيب تمام ,, الحل بالتحليل ,, أفكر حاليا :)

ستكون في حال كان لدينا 3 كور من كل لون :

...........................

بطلنا !!

رايح أذاكر لاتيكس وجايكم راجع !!

بفتش عن التباديل نص ساعة مش لاقيها !!

يا احمد غريب انظر الى وقت كتابة المشاركة فقط غلط في الكتابة عموما حل المسالة الثانية كالي

نريد الفقرة الاهم الان كيف سنحل هذه المسالة عن طريق Gen.functions

طيب جميل جداً يا رومانوف حلك فى هذه الحالة صحيح بس بلاش غش من الكتب الروسية..

بالنسبة للسؤال الثاني حاول تفكر فى عدد المجموعات التى تحتوى على عدد فردي من الكور الزرقاء والتى تحتوى على عدد زوجى من الكور الزرقاء..

إذا استبعدنا العدد الزوجى من الكور الزرقاء بقى فقط المجموعات التى تحتوى على العدد الفردي من الكور الزرقاء..

كذلك بالنسبة للكور السوداء...

ساضع الحل خلال نصف ساعة من الان فحاولو ان تحلوها قبل ذلك الموعد

يمكن حلها بطريقة طويلة , بأن نوجد المجموعات التي بها أعداد زوجية وهي إما صفر أو 2 أو 4 6 8 10 12 , بالمجموع

في الصفر , نوجد مجموعات الفريدة السوداء بنفس الطريقة إما 1 3 5 7 9 11

في 2 نوجد 1 3 5 7 9

في 4 1 3 5 7

في 6 زوجي أزرق نوج 1 3 5 فردي أسود

وهكذا سنوجد المجموع الكامل ,, يعني الحل يحتاج Sum في هذه الحال ,,,

لكن متأكد بوجود حل جنتل أكثر ,,,

السلام عليكم

ناتي الان للجزء الثاني وهو Exponnential Generating Function::

كلنا نعرف سلسلة الماكلورين للاعداد لننظر لهذه السلسلة

هذه السلسلة تسمي فى الExponential G F ب exponential generating function for the sequance 1,1,1,...

هناك ايضاً سلسلة ماكلورين للعدد التالي

هل تلاحظ شيئ غريب؟ هذه السلاسل تشبة التى تحدثنا عنها فى الجزء الاول الفرق الوحيد هو ان كل cofficient يحتوى على كسر بدل الاعداد الصحيحة التى تعودنا عليها فى الجزء الاول..

لاحظ الان ان عملية الجمع بين السلسلة الاولى والثانية يعطينا التالي

شبه كبير جداً لما اعتدنا عليه فى القسم الالو

والان ننظر للسلسلة الثالثة وهى طرح الاولى من الثانية

خلاص خلصنا وهذا كل ما نحتاجة لفهم الExponential G F وكل ما نحتاجه لحل سؤال الكرات الملونه

حل السؤال

اختيار 12 كرة ب 4 الوان يكتب هكذا

نحن نبحث عن ال x التى تحتوى على الاس 12 ونريد ان نعرف ما هو الcofficient المقابل لها..

وفى هذه الحالى ليست فقط x وإنما المعادلة التالية هى التى نبحث عنها ونريد معرفة الcofficient لها

وهو العدد

كما هو واضح من المعادلة,,

انتظر الاسئلة على هذه الجزء والموضوع ما زال متابع

يتبــــــــع

السلام عليكم

إجابة السؤال الثاني

بكم طريقة تستطيع ان تضع 12 كرة فى صف واحد بحيث لا تستخدم سوى عدد زوجى من الكور الزرقاء وعدد فردي من الكور السوداء..

بسيطة نكتب المعادلة مباشرة

لو تابعنا سلسلة مكلورن نستطيع ان نكتب المعادلة بالطريقة المركزة على النحو التالي

مازلنا نبحث عن x مرفوعة لاس 12 وهى فى هذه الحالة تساوي

نلاحظ من الناتج ان عدد الاحتمالات اصبح ربع الاحتمالات إذا وضعنا الشرط ان يكون عدد الكرات الزرقاء زورجي وعدد الكرات السوداء فردي..

وهذه النتيجة تبدو طبيعية إذا استبعدنا نصف الاحتمالات للكرات الزرقاء ونصف الاحتمالات للكرات السوداء, لاننا بذلك نكون قد استبعدنا نصف الاحتمالات بسبب الشرط الاول وبعد ذلك استبعدنا النصف الثاني بسبب الشرط الثاني ونحصل على ربع الاحتمالات كنتيجة نهائية..

انتظر التعليقات والموضوع مازال متابع

يتبــــــــــع

معناه يا احمد غريب نحن ننظر الى الدالة التي هي اساس المتسلسلة:

هناك كانت كثيرة حدود لذلك اساس المتسلسة كان x وبالتالي ننظر الى معامل(cofficient)

x وهنا كان الاساس

لذلك ننظر الى معامل الاساس

اريد ان اعرف يا ابوحميد كيف تختار المتسلسلة المناسبة للمسالة التي تحلها؟

السلام عليكم

بالنسبة للملاحظه الاولى كلامك مظبوط يا كلاشنكوف اما بالنسبة للسؤال فسؤال مشروع جداً انا لم اوضح طريقة اختيار السلسلة لانني اجدها واضحة ولكن الظاهر انها غير واضحة كما كنت اعتقد

اليك الشرح

بالنسبة للكرات الحمراء والبيضاء لم نضع اي شرط لذلك نستخدم المعادلة التالية

طبعاً مرفوعة لاس 2 لان عدد الكرات 2

اما بالنسبة للكرات الزرقاء فكان الشرط ان تكون عدد زوجي لذلك اخترنا المعادلة التى كل x فيها يحتوى على اس مروفع لعدد زوجى على النحو التالي

وبنفس الطريقة نختار الكرات السوداء لتكون ذات العدد الفرديى على النحو التالي

واي اسئله

والسلام عليكم

لا لا يا احمد هذا واضح تماما انا كنت اقصد كيف تعرف مرة انك تحتاج متسلسلة من هذا النوع واحيانا متسلسلة من ذاك النوع

امس كنا نتعامل مع مفكوك ذو الحدين (binomial) فقط واليوم مفكوك الدالة e حسب ماكلورين وغدا ماذا؟ مفكوك ال sin,cos والله لا استبعد!

والسلام عليكم

طيب توضيح بسيط لو لاحظت من الاسم الطريقة الالى إسمها ordnary generating function بينما الاخيرة إسمها Exponential generating function::

معروف انه فى حساب المثلثات الsin و الcos الخ ليست exponential وإنما هى موجات لذلك لا يمكن إستخدمها هنا..

لاحظ ايضاً ان الطريقة الاولى كانت تحل مشاكل الselection ولكنها لا تعير الترتيب اي إهتمام

اما الطريقة الثانية فهى selection معى مراعات الترتيب..

على حد علمى لا يوجد generating function لدوال الsin وال cos الخ

والله اعلى واعلم

والسلام عليكم

اقتباس

لاحظ ايضاً ان الطريقة الاولى كانت تحل مشاكل الselection ولكنها لا تعير الترتيب اي إهتمام

اما الطريقة الثانية فهى selection معى مراعات الترتيب

هذا هو الزبدة هذا ما كنت ابحث عنه

اها اذن انا فهمت القصة تقريبا :

لكن

لمن لا يعرف فان الرمز A

هو التباديل كيف نرتب r شيئا في n مكانا

واضح انها تشترك مع الدالة e^x في اساس المتسلسلة وبالتالي لا عجب ان تكون الدالة e^x داله لتوليد السلاسل التي تحل مسائل التباديل التي تراعي الترتيب

وبالتالي فان المتسلسلة السابقة (مفكوك ذو الحدين) ستتحول الى التالي

ولهذا فان هذه الصيغة تستخدم للحساب مع الترتيب !

بعض القواعد العامة

مثلا اذا كان المعامل الذي نبحث عنه في الاماكن الزوجية فان السلسلة المطلوبة

وبشكل عام اذا كنا نبحث عن معامل في ليست فقط في الاماكن الزوجية وانما في كل k خانة فان العلاقة المطلوبة

وذلك لاننا نستبدل x^k بالقيمة x

واضح ان هذه الاخيرة ستتحول الى الى ماقلها عندما k=2

القاعدة الثانية عندما يكوم حد سفلي اكبرمن الصفر (مثل ان يحصل كل واحد على 3 اقلام على الاقل ) المتسلسلة المطلوبة هي:

نستطيع ان ناخذ

كعامل مشترك وستؤول المتوالية الى الصورة القانونية مع تخفيض الاس المطلوب بمقدار 3

القاعدة الثالثة ان يكون هناك حد علوي مثلا المعاملات المطلوبة في الاماكن الاقل من سبعة:

ملاحظة: ان ذكرت 3 و 7 وهذه ما هي الا ارقام كامثلة للحدود .. الحدود مممن ان تكون اي قيمة

والان ماذا لو كان الموضوع متعدد الشروط:

مثلا نبحث عن معاملات تحقق كل الشروط المذكورة

عدد زوجي اقل من السبعة واكبر من 3 ؟ واضح انه 6 و 4

المتسلسلة المطلوبة