ماهو التفاضل والتكامل

هذه ترجمة لسؤال عن التكامل من هذه الصفحة What Is An Integral? والتي توضح فكرة التكامل :

ماهو التكامل؟

أدرس في المرحلة الثامنة ولدي فضول لمعرفة معنى التكامل. أرجو أن توضحه لي إن أمكنك ذلك . أظن أن له علاقة بالرسم البياني والمعادلات الطويلة أو شيء من هذا القبيل.

أهلاً أنطوني,

فعلاً للتكامل علاقة بالرسم البياني. هل لديك خلفية عن الدوال؟ مثلاً لو كتبت :

f(x) = x^2

يُمكنني إعطاء أرقام لـx وسأحصل على قيم من تلك الدالة :

   x   f(x) = x^2
  ---  ----------
   1    1
   2    4
   3    9
   4   16
   ... ...

وسأستمر بالحصول على القيم.

لو قمت بوضع تلك القيم كنقاط على رسم بياني وصلت النقاط فسأحصل على خط منحني :

  |        *                <- (3,f(3))
  |
  |
  |
  |
  |     *                   <- (2,f(2))
  |   
  |
  |  *                      <- (1,f(1))
  +-----------------
     1  2  3

الآن إفترض أنني أُريد إقتطاع جزء من هذا الرسم وإيجاد المساحة التي بين هذا الخط المنحني وبين الخط الأفقي, خط الـX, لنقل مساحة الشكل الموجود بين x = 1 و x = 3:

  |        *                 
  |        #
  |        #
  |       ##
  |      ###
  |     *###                 
  |     ####
  |    #####
  |  *######                 
  +-----------------
     1  2  3

للأشكال الهندسية المنتظمة كالمستطيل والمثلث معادلات يُمكنك إستخدامها لإيجاد مساحة تلك الأشكال. لكن للأشكال الغير منتظمة كالشكل السابق فإننا نستخدم التكامل لإيجاد مساحتها.

التكامل يقوم بتقطيع الشكل لمستطيلات نحيفة ثم يحسب مساحة كل مستطيل ثُم نجمع تلك المساحات معاً للحصول على مساحة هذا الشكل.

  |        *                 
  |        6           المساحة  ~=    مساحة المستطيل 1
  |        6         + مساحة المستطيل 2
  |       56         + مساحة المستطيل 3
  |      456         + مساحة المستطيل 4
  |     *456         + مساحة المستطيل 5
  |     3456         + مساحة المستطيل 6
  |    23456
  |  *123456                
  +-----------------

وسنستخدم التجميع لحساب المساحة:

            6
             __
          ~  \
  المساحة =  /__  i مساحة المستطيل
           i=1

= مساحة المستطيل الأول + الثاني ... + الثالث

عندما نعمل هذا فبالطبع لن نحصل على القيمة الدقيقة للمساحة, لهذا وضعنا =~ أي يساوي تقريباً.

ولكن كُلما جعلنا المُستطيل أنحف فكلما سنحصل على قيمة أدق للمساحة. فلو قطعنا الشكل لمليون مستطيل فسنحصل على قيمة مقاربة جداً لمساحة هذا الشكل.

            1,000,000
             __
          ~  \
  المساحة =  /__  i مساحة المستطيل
           i=1

فلو إستمرينا في أضافة المستطيلات فسنحصل على عدد لانهائي منها عرض كل مستطيل صفر. أي اننا بعد فترة سنحصل على القيمة الحقيقية للمساحة. عندها سنستخدم علامة التكامل لنُمثل هذه العملية :

             x=3
             /
 المساحة =  |   x^2 dx
            /
            x=1

لاحظ أننا إستخدمتا في التكامل علامة المُساواة ,=, لأن هذه القيمة لم تعد تقريبية عندها.

هذه فكرة التكامل.

جزاك الله خيرا ,طيب ازاى العلوم دى مهمه فى الكمبيوتر وعالم البرمجيات وهو ايه التفاضل؟؟وكيف كانت بدايات علم التفاضل والتكامل وكيف تطورا