بسم الله الرحمن الرحيم
المنطق الرياضي أساس العلوم .. مدخل إلى الابداع في كل مجالات العلوم وعلى رأسها علم الحاسوب وعلم الفيزياء.
جملة
الجملة في مجموعة حروف و رموز لها معنى, مثال:
2+3=5
5*9=45
من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة, مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو " س " بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.
عبارة
تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى و يكون إما صحيحاو إما خاطئا أما الدالة العبرية ( خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى و يحتوي على متغير و يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة
جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة] يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كليهما القضية المنطقية { تعريف} هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كليهما من أمثلة الجمل التي تكون قضايا 1) 2+3=7 2) صنعاء عاصمة اليمن 3) مجموع زوايا المثلث 180 ْ ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب ... بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ مثل : 1) ما أجمل السماء ! 2) كم الساعة ؟
النفي
نفي العبارة P هي عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة, و خاطئة إذا كانت P صحيحة. و نرمز لنفي P ب .
جدول الحقيقة P
0 1
1 0
العطف
عطف العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارتين معا صحيحتين. ونرمز له ب
جدول الحقيقة P Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
الفصل
فصل العبارتين p و Q تكون صحيحة فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة. ونرمز له ب
جدول الحقيقة P Q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
الاستلزام
تكون العبارة P تستلزم Q ، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
و نرمز لها ب: و هي تكافئ العبارة: .
جدول الحقيقة P Q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
التكافؤ
تكافؤ العبارتين و هو , و نرمز له ب:
جدول الحقيقة P Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
القوانين المنطقية
القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية و تكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.
أمثلة:
المثالين الأخيرين, يعرفان بقوانين ديمورجان [De Morgan's laws].
دوال العبارة
الدالة العبارة, هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح و خطأ.
مثال:
بالنسبة للعبارة: "x عدد صحيح طبيعي, x+3=10." نحصل على دالة من إلى بحيث:
الكموميات
هناك نوعان وجودية و كونية.
الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما, مثل يوجد x من بحيث:
نرمز للوجودية بالرمز .
الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير, مثل كيما كانت قيمة x من لدينا
نرمز للكونية بالرمز .
الكموميات و الروابط المنطقية
عندما يكون هناك وجوديات, النفي يعبر عنه ب:
مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.
تطبيق على نظرية المجموعات
هناك علاقة بين نظرية المجموعات و المنطق.
الاستلزام و التضمن
نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.
و نكتب:
نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E. ==مجموعة الأجزاء== ويكتب المنطق ب7888
مجموعة الأجزاء
كل مجموعة لها عدة أجزاء, و هذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.
التساوي و التكافؤ
المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.
المتمم و النفي
متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.
علق حاتم على هذه فقال :
المتممة أمر نسبي
قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى " المجموعة الشاملة "
مثال
إذا كانت
المجموعة الشاملة = ش
ش = { 1 ،9 ، 5 ، 3 ، 2 }
أ = { 1 ، 9 }
متمم أ هو ب
ب = { 5 ، 3 ، 2 }
لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ
x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.
التقاطع و العطف
تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: .
x من C يكافئ: x من A و x من B.
الاتحاد و الفصل
اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين, و التي نرمز لها ب: .
x من C يكافئ: x من A أو x من B. =خاصيات عطف التقاطع و الاتحاد في مجموعة الأجزاء=
الفرق
ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B