ما الفرق بين التطابق و التساوى

(ملاحظة منذ البداية, لست رياضياً و لكن الاساتذة يمكن أن يصححوا لنا).

معنى المعاملات يختلف بحسب السياق. و لكن إذا أردت الكلام على مستوى العلاقات Relations بين الفئات Sets فإن العلاقة التي تكون Reflexive و Symmetric و Transitive فإنها تعرف على أنها علاقة تكافؤ. لنفترض أن لدينا Relation اسمها R. العلاقة R بكل بساطة مبنية على فئة S. الفئة S بها عناصر, و العلاقة R تقوم بالربط بين تلك العناصر مثل التالي:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
R = {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)}

العلاقة بكل بساطة, هي الحالة العامة للدوال. أي أن الدوال عبارة عن حالات خاصة من العلاقات. نأتي للجزء الأول, العلاقة تكون Reflexive عندما:

(x, x) is in R, for each x in S

قد تكون العلاقة Irrflexive و هذا يعني أن:

(x, x) is NOT in R, for each x in S

بالنسبة للمثال الذي طرحناه في الأعلى, فإن R عبارة Irreflexive Relation. بالتالي R ليست علاقة تكافؤ. بالنسبة للـ Symmetry فتعني:

if (x, y) is in R, then (y, x) is in R too

العلاقة R عبارة عن Symmetric Relation. أما الخاصية الأخيرة, و هي كالتالي:

if (x, y) is in R and (y, z) is in R, then (x, z) is in R

بالنسبة لـ R فهي Transitive. في النهاية المثال المطروح حول العلاقة R لا يمثل علاقة تكافؤ, لأن R ليست Reflexive. بمعنى آخر, أو بطريقة كتابة أخرى مبسطة بشكل أصح:

x != x

هذا الذي أفهمه, أما عن أي معامل فيجب أن يكون معرفاً على مستوى الفئات و العلاقات حتى نحدد ماذا تقصد "بالفرق". ببساطة, لم تعطنا تعريفين للمعاملين.

عذراً لأساتذتنا لعدم استخدام Latex لأني على عجل :)

تحياتي,

السلام عليكم إخواني..،

أحسِن بتوضيحك الطيب خالد..

سأبدأ أولاً بطرح مسلمات التكافؤ، ثم ألحقه بمثال لتوضيح ماهية الاختلاف بين التكافؤ و التساوي.

و لنبدأ بوضع مسلمات التكافؤ Equivalence:

و علاقة التكافؤ على أي مجموعة هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الكارتيزي Cartesian Product .

لتكن المجموعة معرفة كالتالي:

حاصل الضرب الكارتيزي هو مجموعة الأزواج المرتبة في الجدول التالي:

لنعرف علاقة تكافؤ على المجموعة بأنها علاقة التطابق نمط 2  Congruence Modulo 2. أي:

العلاقة أعلاه هي علاقة تكافؤ لتحقيقها المسلمات الثلاث للتكافؤ، و هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الكارتيزي و عناصرها هي الملونة بالأزرق في الجدول التالي:

علاقة التساوي Equality or Identity هي أصغر علاقة تكافؤ على أي مجموعة و هي بالتالي مجموعة جزئية من أي علاقة تكافؤ أخرى، و هي مبينة باللون الأحمر في قطر الجدول التالي:

لذا فإن علاقة التساوي يمكن تعريفها كالتالي:

و هناك أصل أكثر عمومية لهذه لمفهوم التساوي و هو مسلمة القابلية للتوسع Axiom of Extensionality في نظرية الفئات المسلماتية و لا مجال لتفصيله الآن. على كلٍّ يمكن النظر للتساوي باعتبارها علاقة هوية Identity؛ أي أن رمزان بينهما علاقة تساوي فذلك يعني أنهما ليسا أكثر من مسميان مختلفان (لفظيا فقط) لنفس أو ذات الكيان.

نلاحظ أننا استخدمنا الترميز و يعني (مُعرَّف بـ) بديلاً للتساوي حتى لا تصبح تعريفاتنا حلقية.

خالص تحيــاتي..،

جزاكم الله خيرا.

و الله ولي التوفيق

مشاركات أستاذنا ياسر ذهبية :)

Khaled.Alshaya كتب:

مشاركات أستاذنا ياسر ذهبية :)

حقاً

اخي د.ياسر

كنز من كنوز المنتدى

يحرسو الله ويرعاه

بكل بساطة

التطابق هي صفة لها علاقة بالخواص ( اي ان الخواص مشتركة )

اما التساوي فهي للعناصر ( اي ان العناصر نفسها )

ان اصبت فمن الله وان اخطاءت فمن نفسي