تعريفان للعدد المركب

التكافؤ بين تعريفي العدد المركب

Equivalence of the Two Definitions of a Complex Number

للعدد المركب تعريفان، أحدهما عامّي Informal و هو شائع في التطبيق لبساطته، و الآخر صوري Formal و هو التعريف الرسمي المستخدم في التأصيل لنظرية الأعداد المركبة The Theory of Complex Numbers..

التعريف الأول Informal

العدد المركب هو عدد على الشكل $mimetex.cgi?x + yi$ بحيث $mimetex.cgi?x$ و $mimetex.cgi?y$ عددان حقيقيان و $mimetex.cgi?i = \sqrt { - 1}$ .

التعريف الثاني Formal

العدد المركب هو زوج مرتب $mimetex.cgi?(x,y)$ بحيث $mimetex.cgi?x$ و $mimetex.cgi?y$ عددان حقيقيان، و لكل عددين مركبين $mimetex.cgi?({x_1},{y_1})$ و $mimetex.cgi?({x_2},{y_2})$ تكون العمليات الجبرية كالتالي:

$mimetex.cgi?Addition.\,\,({x_1},{y_1}) +$

$mimetex.cgi?Multiplication.\,\,({x_1},{y$

مبرهنــة Theorem

التعريفان متكافئان. أي أنه إذا كانت $mimetex.cgi?R$ فئة الأعداد الحقيقية و $mimetex.cgi?C$ فئة الأعداد المركبة فإن:

$mimetex.cgi?\forall z \in C[x \in R \wed$

البرهــان Proof

لدينـا من التعريف الثاني

$mimetex.cgi?({x_1},0) + ({x_2},0) = ({x_$

$mimetex.cgi?({x_1},0)({x_2},0) = ({x_1}{$

و عليه فإن كل عدد حقيقي $mimetex.cgi?x$ يمكن تمثيله بعدد مركب $mimetex.cgi?(x,0)$ . و بشكل أدق فإنه يمكننا تعريف تناظر شكلي Isomorphism بين حقل الأعداد الحقيقية و فئة الأعداد المركبة التي على الشكل $mimetex.cgi?(x,0)$ . و بالتالي يمكن أن نطمر أو نضمن Embed الأعداد الحقيقية في الأعداد المركبة بدالة الحقن Injection Map التالية

$mimetex.cgi?J:x \to (x,0).$

الآن لنعرف $mimetex.cgi?i = (0,1)$ .

من تعريف العمليات الجبرية و من التناظر isomorphism بين حقل الأعداد الحقيقية و الأعداد المركبة التي على الشكل $mimetex.cgi?(x,0)$ ، فإن

$mimetex.cgi?x + iy = (x,0) + (0,1)(y,0)$

$mimetex.cgi? = (x,y).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\$

و أيضـاً

$mimetex.cgi?{i^2} = i \times i = (0,1)(0$

$mimetex.cgi? = - 1 \Rightarrow i = \sqrt$

و عليه فإن النظرية صائبـة و التعريفـان متكافئـان.

كان هذا مثالاً بسيطاً يوضح نموذجاً لإثبات التكافؤ بين التعريفات في التأصيل للنظريات العددية..

بعض المصادر عن نظرية الأعداد المركبة.

C. Caratheodory, Theory of Functions of a Complex Variable, AMS, 2001

H.D. Ebbinghaus, Numbers, Springer, 1991

Walter Ledermann, Complex numbers, Routledge, 1960

تحيــاتي..،

جميل جداً اخي د.ياسر

موضوع روعة ومهم جداً

لدي إضافة وسؤال إذا سمحت!

الإضافة كالتالي من القاموس لدي:

Unlike real numbers, complex numbers can produce negative numbers when squared; because of this fact, all polynomials have complex roots even though some of them lack real roots. Another use of complex numbers is to represent vectors in two-dimensional space; the imaginary number line is thought of as running perpendicular to the number line.

معلومة كتير مهمة كالتالي:

Arithmetic on complex numbers obeys the ordinary laws of algebra as following:

$p><p>$

$p><p>(a + bi) \times (c + di) = ac + adi$

,.,.,.,.,.,.,..,,.,.

السؤال:

هل نستطيع حصر التطبيقات الجادة والحقيقية للأعداد المركبة متل إنتاج ورسم اشكال الفراكتُلز Fractals على سبيل المتال؟

موفق يارب

تعريفان للعدد المركب

مواضيع مشابهة