الفئة الخاوية: تعريف و مبرهنة

#130 أبريل 2010 في 06:35 صاحب الموضوع

الفئـة الخاويـة: تعريف و مبرهنـة

Phi; A Definition and A Theorem

يشتمل هذا الموضوع على ترميزات منطقية و فئوية Logical Notation، و بيانها كالتالي:

التكافوء المنطقي $mimetex.cgi? \Leftrightarrow$

النفي المنطقي $mimetex.cgi?\neg$

الوصل المنطقي And $mimetex.cgi? \wedge$

الفصل المنطقي Or $mimetex.cgi? \vee$

الفرق الفئوي (الفرق بين فئتين) $mimetex.cgi?$

عند التعامل مع القضايا الرياضياتية (و إن كانت أبسطها)، و بالأخص في الأصول، فإنه يجب على المرء أن يحذر كثيراً قبل أن يقرر أن قضيةً ما هي قضية أولية Primitive (تعريف أو مسلمة) أو هي مبرهنة يمكن اشتقاقها من غيرها.

و كمثال على ذلك لننظر القضيتين التاليتين.

القضية الأولى

لتكن فئة $mimetex.cgi?S$ . الفئة الخاوية هي الفرق الفئوي بين $mimetex.cgi?S$ و نفسها.

$S).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(i)$

القضية الثانية

الفئة الخاوية هي الفئة التي عناصرها $mimetex.cgi?x$ ، بحيث $mimetex.cgi?x$ لا تساوي ذاتها.

$mimetex.cgi?\varphi= \{ x|\neg (x = x)\}$

و القضية الثانية هي تعريف الفئة الخاوية بالتناقض، و المتبع في أغلب مراجع الرياضيات البحتة.

و الآن: أي القضيتين يمكن اشتقاقها من الأخرى؟

أيهما قضية أولية، و أيهما مبرهنـة؟ :)

فلنبرهن الثانية..

لنبدأ بالقضية

$S).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

إذن

$S).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

$S) \Leftrightarrow (x \in S \wedge \neg$

و لكن

$mimetex.cgi?x = x \Leftrightarrow \neg ($

أيضاً

$mimetex.cgi?\neg (x = x) \Leftrightarrow$

و من القضيتين 2 و 3

$mimetex.cgi?x \in \varphi\Leftrightarrow$

و بالتبعيـة

$mimetex.cgi?\varphi= \{ x|\neg (x = x)\}$

للمزيد حول فاي و أخواتها يمكن مراجعة

Russell and Whitehead, Principia Mathematica

Mendelson, Introduction to Mathematical Logic

كان الكتاب الأول هو سبب معرفتي بهذا المنتدى، و يرجع الفضل في حصولي عليه لأخي العزيز دكتور عماد حمدي..

تحيــاتي..،

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة YDVIPER في 30 أبريل 2010 في 06:39

[bg=#000000]

La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si pu o intender se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i caratteri ne’ quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche senza i quali mezi e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo

لقد كُتبت الفلسفة في هذا الكتاب العظيم الذي يوجد دائماً أمام أعيننا (و أعني به الكون)، و لكن لا يمكن لأحدٍ أن يفهمه ما لم يتعلم في البدء حروفَ اللغة التي كُتب بها. لقد كُتب بلغة الرياضيات، و الحروف هي مثلثاتٌ و دوائر و أشكالٌ هندسية أخرى؛ بدون هذه اللغة يكون من المستحيل على البشر أن يفهموا و لو كلمة، بدون هذه اللغة نُمسي كمن يتخبطُ بلا هدى في متاهةٍ مظلمة.

جاليليو

[/bg]

Yasser

#230 أبريل 2010 في 15:46

اهلا ياسر كيف حالك شكرا على مواضيعك الرائعة

اقتباس
كان الكتاب الأول هو سبب معرفتي بهذا المنتدى، و يرجع الفضل في حصولي عليه لأخي العزيز دكتور عماد حمدي..

كان يوما مباركا ذلك اليوم الذي جئت فيه الى المنتدى

ولكن دعني اعلق

انت تستخدم الحقيقة المنظقية التي تقول اذا كان A يؤدي الى B فان نفي B يؤدي الى نفي A

بصراحة "ولكن من دون اثبات " واضح ان الاولى مشتقة من الثانية ذلك ان الاولى تناقش مسالة انتماء عنصر ما الى مجموعتين من عدمه

اما الثانية فهي تناقش مسالة انتماء العناصر من الاساس وهذه الاخيرة في نظري اكثر تجريدا

وان كان المنطق الرصين لا يعترف بوجهات النظر ووالبديهيات و انما بالمبرهنات

أضاعوني وأي فتى أضاعـوا * * * ليـوم كــريهـة وســـداد ثغــــر

وخـــــلونـي ومعتـرك المنايـا * * * وقد شـــرعوا أسنــتهم لنحـري

كأني لم أكــــــن فيهـم وسيطـا * * * ولم تك نســبتي في آل عمــرو

أجرر في الجـــوامع كـل يـوم * * * ألا لله مظــــلمتـي وهـصـــري

عسى الملك المجيب لمن دعاه * * * سينجيني فيعلم كيــف شكـري

فأجـــزي بالكرامـة أهـل ودي * * * وأجزي بالضـغينة أهل ضري

منتديات الرياضيات العربية

#330 أبريل 2010 في 15:51

السلام عليكم ورحمة الله

بارك الله فيك دكتورنا الفاضل ياسر

كالعادة مواضيعك دسمه ومميزة :)

تابعت البرهان ولكنى لم افهم كيف النتقلت من الخطوة

$S) \Leftrightarrow (x \in S \wedge \neg$

الى الخطوة

$mimetex.cgi?x = x \Leftrightarrow \neg ($

وباقى البرهان بعد ذلك لا مشاكل فيه ان شاء الله.

وكمان حضرتك أثبت انه يمكن استنتاج القضية الثانية من القضية الأولى ، ولكنك لم تتكلم عن إمكانية استنتاج القضية الأولى من القضية الثانية من عدمه :P

YDVIPER كتب:
كان الكتاب الأول هو سبب معرفتي بهذا المنتدى، و يرجع الفضل في حصولي عليه لأخي العزيز دكتور عماد حمدي..

متى كان هذا :hmm:

بارك الله فيك وبارك لك ،،،

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

مـــوقـــعـــى

#41 مايو 2010 في 01:06

بارك الله فيكم إخواني..،

اقتباس
انت تستخدم الحقيقة المنظقية التي تقول اذا كان A يؤدي الى B فان نفي B يؤدي الى نفي A

في الواقع عادل لم أستخدم هذه

$mimetex.cgi?(A \Rightarrow B) \Leftright$

و إنما استخدمت هذه

$mimetex.cgi?(A \Leftrightarrow B) \Leftr$

هل تذكر الأخيرة دكتور عمـاد؟ :)

اقتباس
تابعت البرهان ولكنى لم افهم كيف النتقلت من الخطوة....

القضية 4 ليست مشتقة من 3، و إنما هي مطروحة asserted كقضية صادقة True.

في الواقع القضية

$mimetex.cgi?\neg (x \in S \wedge \neg (x$

هي قانون عدم التناقض Law of Non-Contradiction

$mimetex.cgi?\neg (A \wedge \neg A).$

و هو صادق دائماً و يكافيء منطقياً أي قضية صادقة، و بما أن $mimetex.cgi?x = x$ صادقة، إذن يمكننا أن نطرح assert القضية الصادقة

$mimetex.cgi?x = x \Leftrightarrow \neg ($

و من ثم نستخدمها في البرهان.

اقتباس
اما الثانية فهي تناقش مسالة انتماء العناصر من الاساس وهذه الاخيرة في نظري اكثر تجريدا
وان كان المنطق الرصين لا يعترف بوجهات النظر ووالبديهيات و انما بالمبرهنات
وكمان حضرتك أثبت انه يمكن استنتاج القضية الثانية من القضية الأولى ، ولكنك لم تتكلم عن إمكانية استنتاج القضية الأولى من القضية الثانية من عدمه

لقد جمعت التعليقين معاً لأنهما يؤولان أخوي الكريمين لذات المفهوم.

بالطبع يمكن دكتور عماد أن نتخذ الطريق العكسي، مستخدمين فنيات المنطق الرياضي، و نبدأ بالنتيجة لننتهي بالمقدمة التي سنحتاج فيها لتعريف فئوي أوّلي Primitive Set-Theoretical Definition و هو تعريف الفرق الفئوي.. هذا تجريد Abstraction أو تحليل و ليس برهان؛ أي تعود من النتائج أو الصيغ الأكثر تركيباً إلى الصيغ البسيطة و التعريفات الأولية في نظرية الفئات، و ليس اتجاهاً تركيبياً Constructive Approach يبدأ من القضايا الأولية لنظرية الفئات وصولاً لقضايا أكثر تركيباً. و البرهان هو عملية تركيبية تختلف عن قولنا أن القضية المركبة كذا تؤول صحتها إلى القضية الأولية كذا أو التعريف الفئوي كذا.. (و الإتجاه البرهاني أو التركيبي هذا هو الذي بنيت من خلاله الرياضيات بأكملها بدءاً بالتعريفات البسيطة لنظرية الفئات)..

يمكن استخدام هذا الإتجاه العكسي في أي فرع رياضياتي عدا في الأصول.. لأنه في كل فروع الرياضيات تكون كل القضايا هي في الواقع مبرهنات فئوية (لأن الرياضيات بأكملها و المنطق ذاته يؤولان إلى قضايا فئوية أولية) حتى و إن استخدمناها داخل فرعٍ ما كقضايا أولية.. إذن فلا فرق، فهو انتقال منطقي من قضية إلى أخرى..

إذن فدرجة التجريد Abstraction هي مدى القرب من أوليات نظرية الفئات.

و لتوضيح ذلك فإن فنيات المنطق الرياضياتي و ثوابته مثل التكافؤ و الإستلزام و الوصل و الفصل و غيرها هي مبرهنات فئوية و ليست قضايا أولية، أي أن قضايا المنطق بأكمله مبرهنة عبر طريق طويل من العمليات الفئوية الأساسية.. و بالتالي فإن الطريق العكسي يقودنا من مبرهنات مركبة عبر استخدام مبرهنات مركبة إلى قضية فئوية أولية و هي تعريف الفرق الفئوي في حالتنا هذه (أي أننا في النهاية سنحتاج لتعريف الفرق الفئوي)..

هذا ما يجعل نظرية الفئات هي نظرية كل شيء The Theory of Everything، و ذلك لأن:

كل المفاهيم الرياضياتية المجردة Abstract Mathematical Concepts هي مفاهيم فئوية.

كل الكيانات الرياضياتية العينية Concrete Mathematical Objects هي فئات.

و المفاهيم المجردة مثل العلاقات و الدوال. و الكيانات العينية مثل الأعداد.

عموماً تفصيل حكاية (نظرية كل شيء) يحتاج لموضوع منفصل أو عدة موضوعات.

بالمناسبة يمكننا أيضاً إثبات المبرهنة التالية :)

$mimetex.cgi?\varphi= \{ x \in A|\neg (x$

اقتباس
متى كان هذا..

تنسى كثيراً يا رجل.. زدتَ فضلاً بنسيانك فضلك..

أنظـــر..

http://www.arabteam2...49entry702849

تحيــاتي..،

[bg=#000000]

La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si pu o intender se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i caratteri ne’ quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche senza i quali mezi e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo

لقد كُتبت الفلسفة في هذا الكتاب العظيم الذي يوجد دائماً أمام أعيننا (و أعني به الكون)، و لكن لا يمكن لأحدٍ أن يفهمه ما لم يتعلم في البدء حروفَ اللغة التي كُتب بها. لقد كُتب بلغة الرياضيات، و الحروف هي مثلثاتٌ و دوائر و أشكالٌ هندسية أخرى؛ بدون هذه اللغة يكون من المستحيل على البشر أن يفهموا و لو كلمة، بدون هذه اللغة نُمسي كمن يتخبطُ بلا هدى في متاهةٍ مظلمة.

جاليليو

[/bg]

Yasser

#52 مايو 2010 في 03:25

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بارك الله فيك اخى الفاضل

هذا كلام كبير قوى يصعب على أمثالى فهمه :lol: سأقرأ هذا الكلام مرة أخرى ولكن بتركيز :) فهى فرصة جيدة لاستنزافك وإخراج بعض ما فى جعبتك من معلومات لا تقدر بثمن :)

YDVIPER كتب:
هل تذكر الأخيرة دكتور عمـاد؟ :)

بالتأكيد ، وإن كنا افتقدنا أخونا عادل وابداعاته فى ذلك الموضوع :)

YDVIPER كتب:
تنسى كثيراً يا رجل

كما يقولون عندنا فى مصر ، هذه أحكام السن :lol:

بارك الله فيك وبارك لك ،،،

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

مـــوقـــعـــى

#62 مايو 2010 في 08:32

عفواً أخي عماد بارك الله فيك..

أخجل أن أقتبس شيئاً مما قلت.. فزادي قليل و موضوعاتي شحيحة..

اقتباس
بالتأكيد ، وإن كنا افتقدنا أخونا عادل وابداعاته فى ذلك الموضوع

بالطبع افتقدناه كثيراً..

اقتباس
كما يقولون عندنا فى مصر ، هذه أحكام السن

يا راجل أنا أسن منك..

بس هوه الأكل الياباني عامل عمايله.. :P

الظاهر شغل الرز و فتافيت السمك دي ما تنفعش مع المصريين.. :lol:

[bg=#000000]

La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si pu o intender se prima non s’impara a intender la lingua e conoscere i caratteri ne’ quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche senza i quali mezi e impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo

لقد كُتبت الفلسفة في هذا الكتاب العظيم الذي يوجد دائماً أمام أعيننا (و أعني به الكون)، و لكن لا يمكن لأحدٍ أن يفهمه ما لم يتعلم في البدء حروفَ اللغة التي كُتب بها. لقد كُتب بلغة الرياضيات، و الحروف هي مثلثاتٌ و دوائر و أشكالٌ هندسية أخرى؛ بدون هذه اللغة يكون من المستحيل على البشر أن يفهموا و لو كلمة، بدون هذه اللغة نُمسي كمن يتخبطُ بلا هدى في متاهةٍ مظلمة.

جاليليو

[/bg]

Yasser

الفئة الخاوية: تعريف و مبرهنة

مواضيع مشابهة