ماذا تعرف عن ال paeno arithmetic ?

 السلام عليكم أختنا الفاضلة..،

اقتباس

أرجو من أخى YDVIPER توضيح...

عفواً أختنا الكريمة..، لا داعي أبدا لتخصيص السؤال لفرد بعينه..

هناك غيري أعضاء أفاضل أيضاً لديهم خلفية عن الموضوع ربما تكون أفضل من خلفيتي..

بالنسبة للنبذة.. فهذه موضوعات لا تجدي معها نبذة مختصرة..

على كلٍّ أعد موضوعاً منفصلاً عن المنطق الرياضياتي و الأنساق المسلماتية Mathematical Logic and Axiomatic Systems، و سأطرحه بمشيئة الله على أجزاء أسبوعياً.. و لكنه أمرٌ يحتاج لبعض الوقت و التفرغ..

و لتبدئي العمل من الآن فيما يلي.. و اطرحي تساؤلاتك و سيجيب عنها الأعضاء الأفاضل ما وسعهم ذلك..

و بعض ما تحتاجينه لإتمام بحثك هو كالتالي.

لنبدأ أولاً بتعريف النسق المسلماتي.

النسق المسلماتي Axiomatic System

هو نسق يتكون من مجموعة من الحدود غير المعرفة Undefined Terms أو المعرفة، و مجموعة من المسلمات Axioms غير المبرهنة و المقبولة إعتباطياً، و مجموعة من المبرهنات Theorems الناتجة منطقياً Logical Consequences من المسلمات. و كل ما يهم في النسق المسلماتي ألا تحتوي مسلماته على تناقض، و أن تكون له فائدة مرجوة إذا ما تم تأويله.

المنطق الرياضياتي Mathematical Logic

تحتاجين في البدء لدراسة كتاب كامل و جيد في المنطق الرياضياتي و استيعابه جيدا.. و رأيي المتواضع أن الفترة الأقل لإتمام ذلك هي شهران إن لم يكن أكثر..

يشمل المنطق الرياضياتي ما يلي:

نظرية البرهان Proof Theory: تعنى بقواعد اللغة Syntax المكتوب بها النسق المسلماتي، و قواعد الإستدلال Deduction Rules داخل هذه اللغة (أي القواعد التي تحكم الإنتقال من صيغة Formula إلى صيغة أخرى)، دون الإلتفات مطلقاً لأي دلالة Semantic أو تأويل Interpretation لمفردات أو جمل النسق المسلماتي.. و هذه اللغة قد تكون:

لغة صفرية الرتبة Zero-Order Language: مثل لغة المنطق الأرسطي التقليدي صفري الرتبة Propositional Logic (و الذي يقابله في جبر المنطق الجبر البولياني Boolean Algebra)، و هذا مثال لجملة من هذه اللغة

و هي لغة لا تحتوي مطلقاً على المحددات Quantifiers مثل لكل For All و يوجدThere Exists ، كما لا تحتوي على علاقة التساوي Equality Relation و لا على دالة الإنتماء Membership Function ، لذا فإن القدرة التعبيرية Expressive Power لهذه اللغة الصفرية تعد ضعيفة جداً في التعبير عن معظم الحقائق الرياضياتية.

لغة أحادية الرتبة First-Order Language: مثل لغة المنطق أحادي الرتبة First-Order Logic أو Predicate Logic. و هي لغة تعظم من القدرة التعبيرية بإضافة المحددات Quantifiers السابق ذكرها، و تؤئر هذه المحددات على المتغيرات Individual Variables و ليس على علاقات Relations أو دوال Functions أو خواص Predicates هذه المتغيرات. على سبيل المثال فإن القدرة التعبيرية للغة صفرية الرتبة قاصرة عن التعامل مع الجملة التالية

لكل و لكل ، يوجد بحيث .

و التي يمكن التعبير عنها باللغة أحادية الرتبة كالتالي

نلاحظ هنا أنه لا يوجد أي تأويل Interpretation للجملة السابقة؛ فنحن لم نحدد نطاق المتغيرات، و لا نعرف هل هي أعداد حقيقية أو طبيعية أو ليست أعداد على الإطلاق كأن تكون مثلاً مجموعات أو مجرد سلاسل من الرموز Strings of Symbols، و بالتالي فإن الرمزين + و = لا يعنيان بالضرورة الجمع و التساوي الجبريان؛ فقد يعني الرمز + مثلاً الدمج النصي Concatenation بين سلاسل رمزية، أو يعني الإتحاد Union بين مجموعات. أي أننا هنا في نظرية البرهان لا تعنينا الدلالة مطلقاً و إنما نعنى فقط بقواعد الكتابة Syntax و آليات الإستدلال Deduction.

لغة ثنائية الرتبة Second-Order Language: مثل لغة المنطق ثنائي الرتبة Second-Order Logic. و فيها يمتد تأثير المحددات Quantifiers ليشمل فئات Sets المتغيرات أو علاقاتها أو خصائصها Predicates. مثلاً هذه جملة ثنائية الرتبة

لكل فئة و لكل ، إما تنتمي للفئة أو لا.

و يتم التعبير عنها كالتالي

و هناك لغات رمزية من رتب أعلى Higher-Order Languages و ليس مجال عرضها الآن. المهم مما سبق أننا نحتاج نظرية البرهان و لغاتها لفهم قواعد اللغة المكتوب بها جمل الأنساق المسلماتية مثل أنساق بيانو للحساب.

نظرية النموذج أو التأويلات Model Theory: و هي الشق الثاني من المنطق الرياضياتي و تعنى بدلالة Semantic الأنساق المسلماتية و دراسة نماذجها Models أو تأويلاتها. و لفهم ذلك فإن التأويل يكون بتحديد نطاق Domain أو كون Universe of Discourse للمتغيرات مثل الأعداد الحقيقية أو الطبيعية أو أي نطاق آخر ربما غير عددي بالكلية.

لنستدع الجملة (2) أحادية الرتبة المذكورة أعلاه، و نجعل نطاق المتغيرات هو الأعداد الحقيقية كالتالي

و هذه هي مسلمة الجمع في نسق تارسكي المسلماتي للأعداد الحقيقية.

هنا أصبع للمتغيرات دلالة و معنى، كما أصبح للرموز + و = أيضاً معنى و هو على الترتيب الجمع الجبري و التساوي الجبري في نطاق الأعداد الحقيقية. و ينتج عن هذا التأويل ما يسمى بالبنية Structure و تكتب كالتالي في حالتنا هذه

أي البنية المعرفة بعملية الجمع على   ، و هي بنية أحادية الرتبة First-Order Structure لأن لغتها أحادية. و إذا أضفنا المسلمة التالية للضرب في نطاق الأعداد الحقيقية

فإن البنية تصبح كالتالي

و يتم دراسة هذه البنى Structures في نطاق الجبر الشامل أيضاً.

يعوزنا فقط أن نوضح أن هذه النماذج أو التأويلات لنسق مسلماتي ليست وحيدة بالضرورة و تعتمد على النطاق المحدد للمتغيرات و علاقاتها.

المهم الآن من نظرية النموذج أننا نحتاجها للتعامل مع التأويلات الممكنة لأي نسق مسلماتي.

نظرية العودية أو القابلية للحوسبة Recursion or Computability Theory: و هي الشق الثالث من المنطق الرياضياتي و تعنى بدراسة نماذج الأنساق المسلماتية القابلة للحوسبة Computable Models of Axiomatic Systems. و كنتِ قد أشرتِ في مشاركةٍ سابقة إلى أنك درست شيئاً منها. تحتاجين لمراجعتها بشكل أعمق قليلاً بعد استيعاب مفاهيم نظريتي البرهان و النموذج بشكل جيد.

كانت هذه نبذة مختصرة و تفتقد إلى الكثير من الدقة.

و هذه بعض المصادر التي يلزم دراستها على الترتيب:

Mathematical Logic

Logic and Structure (Fourth Edition) - Dirk van Dalen

Readable and covers the above concepts

Peano Arithmetic

Selected works of Giuseppe Peano

This is the original work by Peano

Subsystems of Second Order Arithmetic (Camb 2009) - Simpson

The Structure of Models of Peano Arithmetic (Oxford 2006) – Kossak

Computability and Decidability of Peano Arithmetic

Computability Theory (CRC 2004)- Barry Cooper

See chapter 3, Language, Proof and Computable Functions

الرابـط:

http://www.4shared.c...8BD7/Peano.html

و أقترح لورقتك البحثية أن تكتفي بحساب بيانو من الرتبة الأولى و نماذجه القابلة للحساب

Computable Models of First-Order Peano Arithmetic

على أن تشمل الورقة البحثية الجوانب التالية

The Language of First-Order Peano Arithmetic

The Models of First-Order Peano Arithmetic

Computable Models of First-Order Peano Arithmetic

بالتوفيــق..،