بعض أشكال البراهين الرياضية

رائج

بدأه caballero في 24 أغسطس 2007 · 12 رد · 30,996 مشاهدة · في الرياضيات والخوارزميات

#124 أغسطس 2007 في 02:40 صاحب الموضوع

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

من بين أنواع الإستدلالات الرياضية نجد البرهان بالمثال المضاد، والبرهان بالخلف، والبرهان بالتكافؤات المتتالية، والبرهان بالإستلزام المضاد للعكس، والبرهان بفصل الحالات، والبرهان بالترجع... وهي التي سنتناولها بشكل مبسط في هذا الموضوع.

قبل الشروع في القراءة أنصحك بمراجعة ملخص درس مبادئ في المنطق.

1. البرهان بالمثال المضاد:

للبرهان على خطإ العبارة

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20E)%$

نبين صحة نفيها

$mimetex.cgi?(%5Cexists%20x%20%5Cin%20E)%$

مثال:

لنبين أن العبارة P

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C$

خاطئة.

نفي العبارة P هو:

$mimetex.cgi?(%5Cexists%20x%20%5Cin%20%5C$

نبين أنه يوجد على الأقل عنصران x و y بحيث 2x-4y=5

نأخذ مثلا x=5/2 و y=0

لدينا

$mimetex.cgi?2%5Ctimes%5Cfrac%7B5%7D%7B2%$

ومنه العبارة P¬ صحيحة. إذن العبارة P خاطئة.

تطبيقات:

بين بإستعمال البرهان بالمثال المضاد أن العبارات التالية خاطئة.

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C$

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5D$

2. البرهان بالخلف:

خاصية:

لتكن P و Q عبارتين.

العبارة التالية قانون منطقي:

$mimetex.cgi?%5B(%5Crceil%20P%20%5CLongri$

لكي نبين أن عبارة P صحيحة:

نفترض أن P¬ صحيحة ونبين أن P⇒Q ¬ إستلزام صحيح وأن Q¬ عبارة صحيحة. وتكون (Q و Q¬) صحيحة ونحصل على تناقض.

مثال:

لنبين أن 2 ليس مربعا لعدد جذري.

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cnotin%20$

نفترض أنه يوجد عدد جذري x موجب يحقق x²=2

بما أن x عدد جذري موجب فيمكن كتابته على الشكل

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D$

حيث p و q عددان صحيحان طبيعيان أوليان فيما بينهما (قاسمهما المشترك الأكبر هو 1)

و q غير منعدم

لدينا

$mimetex.cgi?x%5E2=2$

يعني

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7Bq%5E2%7$

و منه

$mimetex.cgi?p%5E2=2q%5E2$

إذن p² عدد زوجي و بالتالي p عدد زوجي، أي p=2k بحيث k عدد صحيح طبيعي.

و منه

$mimetex.cgi?(2k)%5E2=2q%5E2$

اي

$mimetex.cgi?4k%5E2=2q%5E2$

$mimetex.cgi?2k%5E2=q%5E2$

إذن q² عدد زوجي و بالتالي q عدد زوجي.

و هذا غير ممكن (تناقض) لأن p و q عددان أوليان فيما بينهما (لا يمكن أن يكون p و q زوجيين في آن واحد)

و بالتالي x ليس عددا جذريا.

طريقة أخرى

تطبيقات:

1. نعتبر المثلث ABC بحيث أطوال أضلاعه هي 4a و 3a و 6a.

(و a>0)

بين أن المثلث ABC غير قائم الزاوية.

2. ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين بحيث a>b

بين أن

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2+b%5E2%7D%7Ba$

نكمل الدرس بعد تصحيح التمارين التطبيقية.

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة caballero في 5 أبريل 2008 في 17:40

MPSI/MP* - CPR Tanger

#227 أغسطس 2007 في 01:47

(مشاركة فارغة)

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة caballero في 5 أبريل 2008 في 17:40

MPSI/MP* - CPR Tanger

#327 أغسطس 2007 في 02:29

ألف شكر ليك أخى الكريم على هذا الموضوع الهام والمفيد

لكن هل يمكن عمل برنامج بالفيجول يتناول هذا الموضوع

أكرر شكري لك

#427 أغسطس 2007 في 05:07

اقتباس
لكن هل يمكن عمل برنامج بالفيجول يتناول هذا الموضوع

ماذا ستكون وظيفة البرنامج؟

MPSI/MP* - CPR Tanger

#530 أغسطس 2007 في 03:26

3. البرهان بالتكافؤات المتتالية:

لتكن P و R1 و R2 و ... و Rn و Q عبارات.

إذا كان

$mimetex.cgi?%5C.%5Carray%7Brcl$P%20%5CLo$

و Q عبارة صحيحة فإن P عبارة صحيحة.

عمليا: للبرهان على صحة عبارة P ما، نبرهن على صحة التكافؤات المتتالية P ⇔ R1 و R1 ⇔ R2 و ... و Rn ⇔ Q

حيث Q عبارة صحيحة ثم نستنتج أن التكافؤ P ⇔ Q صحيح إذن P عبارة صحيحة أيضا.

مثال:

حدد جميع الأزواج (x,y) من Z² حيث x²=4y²

$mimetex.cgi?x%5E2=4y%5E2$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20(x-2$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x-2y$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x=2y$

إذن مجموعة الحلول S هي

$y%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%7D$

تطبيقات:

1. ليكن x عددا حقيقيا.

بين أن

$mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C$

2. حدد العددين x و y بحيث:

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B$

4. البرهان بالإستلزام المضاد للعكس:

لتكن P و Q عبارتين.

العبارة التالية قانون منطقي:

$mimetex.cgi?(P%20%5CLongrightarrow%20Q)%$

الإستلزامان P⇒Q و Q⇒¬P¬ متكافئان.

الإستلزام Q⇒¬P¬ يسمى الإستلزام المضاد للعكس للإستلزام P⇒Q.

إذا كان في بعض الوضعيات يصعب البرهان مباشرة على صحة الإستلزام P⇒Q، فإنه يمكن أن نبرهن على صحة الإستلزام المضاد للعكس Q⇒¬P¬ ثم نستنتج أن P⇒Q

مثال:

لنبين أن

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C$

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7B1+x%7D=1+%5Cfrac%7$

لدينا

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7B1+x%7D=1+%5Cfrac%7$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20%5Cfrac%$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x%5E2%20$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x%20=%20$

ومنه

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C$

تطبيقات:

1. بين أن

$mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5$

2. بين أن

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat$

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة caballero في 5 أبريل 2008 في 17:40

MPSI/MP* - CPR Tanger

#63 سبتمبر 2007 في 03:28

تصحيح التمارين:

1.1). ليكن x عددا حقيقيا.

لنبين أن

$mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C$

لدينا

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B1$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x%5E$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x%5C$

وبالتالي

$mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C$

2.1). لنحدد العددين x و y بحيث:

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B$

لدينا

$mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20(%5C$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20%5Cs$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x-1=$

$mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x=2%$

1.2). لنبين أن

$mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5$

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

$mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr$

لدينا

$mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20(x-y)(x+$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x-y=0%20$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x=y%20%5$

لدينا

$mimetex.cgi?x$

ومنه

$mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr$

وبالتالي

$mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5$

2.2). لنبين أن

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat$

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%5Csqrt%7$

لدينا

$mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%5Csqrt%7$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%201-x=1$

$mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x=0$

وبالتالي

$mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat$

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة caballero في 5 أبريل 2008 في 17:41

MPSI/MP* - CPR Tanger

#74 سبتمبر 2007 في 16:00

جيد أن أعرف أن هناك متابعين للموضوع :D

بالنسبة للمصطلحات، فأنا أستعمل المصطلحات المعتمدة في المغرب وكما يبدو فهي غير مفهومة في باقي الدول العربية. يكفي أن تحدد الكلمات الغامضة وسأقوم بوضع مقابل لها باللغتين الإنجليزية والفرنسية.

اقتباس
ملحوظة فى pdf المرفق الحجدول بتاع النفى خاطىء ياريت تصححة حتى لا يتوة الاعضاء

فعلا الجدول خاطئ، والمفروض أن يكون هكذا

$mimetex.cgi?4$%5C.%5Cbegin%7Btabular%7D%$

لست أنا من قام بكتابة ملف PDF، سأحاول أن أراسل كاتبه وأنبهه إلى الخطأ.

اقتباس
اذا حضرتك بتعرف فى الاحتمالات ياريت بتشرح الاحتمالات والتوزيعات الرياضية وانا بقوم بوضع الكود لها

بكل سرور. لكن هل تقصد حساب الإحتمالات أم التعداد؟

تم تعديل هذه المشاركة بواسطة caballero في 4 سبتمبر 2007 في 16:08

MPSI/MP* - CPR Tanger

#85 سبتمبر 2007 في 08:46

السلام عليكم ورحمة الله

أخى الفاضل caballero

انا من المتابعين الدائمين والمهتمين بالموضوع. بس مش لاقى كلام اقوله ههههههه.

مكتفى بالاستمتاع بقراءة مشاركاتك فقط. لكن فعلا انا متابع خطوة بخطوة.

والله يوفقك ويكرمك ,,,

أشهد أن لا إله إلا الله وأشهد أن محمدا رسول الله

مـــوقـــعـــى

#95 سبتمبر 2007 في 18:06

وعليكم السلام

أخي dr_abdalrhman

قمت بتعديل المشاركة الأولى، فيها ستجد ترجمة للمصطلحات باللغة الإنجليزية، بإستثناء (البرهان بالتكافؤات المتتالية). أعرف إسمه بالفرنسية Raisonnement circulaire ولكن لا أعرف مقابله بالإنجليزية. جاري البحث...

أخي عماد

سنكون سعداء بإضافاتك في هذا الموضوع :)

MPSI/MP* - CPR Tanger