اكتشف الخطأ الهندسى ... طبعا لو امكنك ذلك :)

السلام عليكم.

أعتقد يجب ان يكون في الصورة التي بها الفجوه أختلاف في القياسات.

ليس من المنطق ان يكون المثلثان لهما نفس الابعاد ونفس الزويا .

قد يكون هناك أختلاف لكن ليس واضح لي لم استطع ملاحظته.

صراحة رياضياً لا أعلم فلست أبرع في هذا.

المهم باعتبار كل تدريجة تساوي 1cm لو حسبت مساحة المثلث بالكامل ستجده مساوي 32.5cm² حسب قانون حساب مساحة المثلث القائم.

بينما لو جمعت المساحات الجزئية للأشكال ستجدها مساوية 32cm² وهذا يفسر وجود هذا الفراغ لكن لا أعتقد أنه يساوي 1cm² حسبما يظهر في الشكل وربما هذا مجرد محاولة توضيح للفراغ الناتج.

أما عن الكيف والسبب فلا أعلم :S

أعتقد أن الضلع المائل في الصورتين يختلف على الرغم من أنه يظهر للعين المجردة نفسه وربما تكون منطق مثلثات يحدث فيه هذا الإشكال.

بالمناسبة تذكرت الآن صورة رأيتها من قبل لمجموعة من اللاعبين إن قمت بمبادلة أجسام نصف اللاعبين بين نصفي الصورة ستحصل على لاعب إضافي زائد عندما تعد الأشخاص في الصورة الجديدة.

وعليكــم السـلام ورحمة الله وبركاتـه..

الخطأ ناتج بسبب أن الرسم مصنوع بشكل يدوي وغير دقيق

في هذه الصوره الأرقام المتقابلة تظهر الإختلافات في الرسم بين الشكلين!

:happy:

و الله أعلم

لو قمنا برسم وتر مثلث أبعاده 5*13 باستخدام معادلة y = (5/13)x سيكون هناك اختلاف بين شكل الوتر والوتر الذي يظهر في الشكلين في الأعلى.

لو قمنا بمعالجة الوتر الظاهر في الصورة على أنه جزئين، واحد يخص المثلث الأحمر والثاني يخص المثلث الأخضر فسيكون لدينا وترين بمعادلتين على الترتيب y = (3/8)x و y = (2/5)x-(1/2) نفس الأمر لو قمنا بحساب Sin الزاوية المتشكلة في كل مثلث سنجد أنها مختلفة (لم أقم بحسابها لكني أجزم بهذا)

فلو حسبنا الآن التكامل المحدود (من 0 إلى 8 لو رقمنا كل تدريجة ابتداء من اليسار) للمعادلة الخاصة بالشكل المثلثي الذي نعرفه (5/13)x وطرحنا منها التكامل المحدود (من 0 إلى 8) للمعادلة الخاصة بالمثلث الأحمر (3/8)x لكان الناتج 8/26

الآن نحسب التكامل المحدود (من 8 حتى 13) للمعادلة الخاصة بالشكل المثلثي الكامل ونطرح منها التكامل المحدود (من 8 حتى 13) لمعادلة المثلث الأخضر لكان الناتج 5/26

لو جمعنا المساحة الناتجة الآن من التكاملين لكانت 13/26 وتساوي نصف وهو مقدار نقص في المساحة بين الشكل الأول والمثلث الحقيقي لو رسمناه.

لو طبقنا هذا على الشكل الثاني (في الأسفل) لكان المقدار نصف بالزيادة عن مساحة الشكل الحقيقي.

هذا الاختلاف ناتج عن كون الوتر قسمين وليس قسم واحد ينفصل في كل شكل عند نقطة التقاء رؤوس المثلثين الأحمر والأخضر عند تبديلهما مما يجعل هناك فروقات في المساحات.

حد فهم حاجة؟ هو أنا لسه بحاول أستوعب اللي بكتبه :huh:

هذه المسألة تحتاج مدرس رياضيات يشرح لنا هل هناك مشكلة رياضية أم هذا شبيه بخداع النظر :rolleyes:

اقتباس

لو قمنا برسم وتر مثلث أبعاده 5*13 باستخدام معادلة y = (5/13)x سيكون هناك اختلاف بين شكل الوتر والوتر الذي يظهر في الشكلين في الأعلى.

لو قمنا بمعالجة الوتر الظاهر في الصورة على أنه جزئين، واحد يخص المثلث الأحمر والثاني يخص المثلث الأخضر فسيكون لدينا وترين بمعادلتين على الترتيب y = (3/8)x و y = (2/5)x-(1/2) نفس الأمر لو قمنا بحساب Sin الزاوية المتشكلة في كل مثلث سنجد أنها مختلفة (لم أقم بحسابها لكني أجزم بهذا)

فلو حسبنا الآن التكامل المحدود (من 0 إلى 8 لو رقمنا كل تدريجة ابتداء من اليسار) للمعادلة الخاصة بالشكل المثلثي الذي نعرفه (5/13)x وطرحنا منها التكامل المحدود (من 0 إلى 8) للمعادلة الخاصة بالمثلث الأحمر (3/8)x لكان الناتج 8/26

الآن نحسب التكامل المحدود (من 8 حتى 13) للمعادلة الخاصة بالشكل المثلثي الكامل ونطرح منها التكامل المحدود (من 8 حتى 13) لمعادلة المثلث الأخضر لكان الناتج 5/26

لو جمعنا المساحة الناتجة الآن من التكاملين لكانت 13/26 وتساوي نصف وهو مقدار نقص في المساحة بين الشكل الأول والمثلث الحقيقي لو رسمناه.

لو طبقنا هذا على الشكل الثاني (في الأسفل) لكان المقدار نصف بالزيادة عن مساحة الشكل الحقيقي.

هذا الاختلاف ناتج عن كون الوتر قسمين وليس قسم واحد ينفصل في كل شكل عند نقطة التقاء رؤوس المثلثين الأحمر والأخضر عند تبديلهما مما يجعل هناك فروقات في المساحات.

حد فهم حاجة؟ هو أنا لسه بحاول أستوعب اللي بكتبه

هذه المسألة تحتاج مدرس رياضيات يشرح لنا هل هناك مشكلة رياضية أم هذا شبيه بخداع النظر

:):):):):)

الموضوع أتفهه مما تتصوره

خلدون خالد2 كتب:

الموضوع أتفهه مما تتصوره

طيب هات ما عندك بنظرة تحليلية تبسط هذا الكلام الرياضي طالما هو تافه.

ما حاولت قوله بطريقة رياضية هو أن وتر المثلثين لا يشكل مستقيم كامل وإنما هو جزئين وبسبب الميل الخفيف لكل وتر لا يظهر للعين المجردة الاختلاف فعند التبديل بن أماكن الأشكال سيكون لزاماً سحب الوتر بشكل خفيف بحيث يشكل مثلث لأماكن الأشكال الجديدة.

السلام عليكم

لا يمكن للمنطق في هذه المسألة ان ينتصر الا اذا كان أحد المربعات يخفي وراءه مربعا أخر من نفس

اللون ! :blush:

يخطئ من يعتقد ان المثلثان ذوات اللون الاحمر ... لهما نفس المساحة ....

المثلث السفلي يزيد العلوي بمساحة مربع واحد ....

يمكنك استنتاج ذلك بسحب الخمسة مربعات الافقية البرتقالية من الشكل العلوي الى الشكل السفلي

....في الحقيقة سيبقى مربع أحمر اللون في الشكل السفلي ...

الذي وضع المسألة فقط قام بنقل هذا المربع الاحمر ليضعه فوق مربح أحمر أخر ...

ليبدو الشكل غير منطقي ... بس على مين.. :wacko:

اقتباس

طيب هات ما عندك بنظرة تحليلية تبسط هذا الكلام الرياضي طالما هو تافه.

ما حاولت قوله بطريقة رياضية هو أن وتر المثلثين لا يشكل مستقيم كامل وإنما هو جزئين وبسبب الميل الخفيف لكل وتر لا يظهر للعين المجردة الاختلاف فعند التبديل بن أماكن الأشكال سيكون لزاماً سحب الوتر بشكل خفيف بحيث يشكل مثلث لأماكن الأشكال الجديدة.

اقتباس

الموضوع أتفهه مما تتصوره

مسحوبة !!!

فكرت فيها بتعمق شوي مع بعض التجربه لم اصل إلى اكثر من هذا!!

اقتباس

المهم باعتبار كل تدريجة تساوي 1cm لو حسبت مساحة المثلث بالكامل ستجده مساوي 32.5cm2 حسب قانون حساب مساحة المثلث القائم.

بينما لو جمعت المساحات الجزئية للأشكال ستجدها مساوية 32cm2 وهذا يفسر وجود هذا الفراغ لكن لا أعتقد أنه يساوي 1cm2 حسبما يظهر في الشكل وربما هذا مجرد محاولة توضيح للفراغ الناتج.

:ph34r:

المثلث الكبير (الأحمر) مساحته فى الشكلين متساوية = (8 × 3)/2 = 12 سم مربع

المثلث الصغير (الأخضر) مساحته فى الشكلين متساوية = (5 × 2)/2 = 5 سم مربع

الاشكال الغير منتظمة:

الشكل العلوى مساحته فى الشكلين متساوية = 7 سم مربع

الشكل السفلى مساحته فى الشكلين متساوية = 8 سم مربع

مجموع مساحتهم = 8 + 7 = 15 سم مربع

وضع الشكلين الغير منتظمين:

فى (ش1) يشغلوا مساحته = 5 × 3 = 15 سم مربع = مجموع مساحتهم = لا توجد فراغات

فى (ش2) يشغلوا مساحته = 8 × 2 = 16 سم مربع = مجموع مساحتهم + 1 = يوجد فراغ = 16 - 15 = 1 سم مربع (الفراغ)

المسأله رياضيه بحت

ومن الصعب رؤية الفرق

الشق الاول: الخطأ الهندسى

الخطأ الهندسى هو أن وتر المثلث الاول ليس على استقامة وتر المثلث الثانى ، أو بصيغة رياضية: معادلة وتر المثلث الأول لا تساوى معادلة وتر المثلث الثانى (بمعنى أن الشكل هو شكل رباعى وليس مثلث وبالتالى من الخطأ حساب مساحته كمثلث قائم الزاوية (الطول × العرض)/2 لأانه اساساً ليس مثلث ;) )

وذلك لأن زاوية ميل وتر المثلث الاول ( a ) هى

بينما زاوية ميل وتر المثلث الثانى ( b ) هى

الشق الثانى: من اين ظهر المربع؟

لو اكملنا المستطيل الذى تشغله الاشكال الاربعة ، ستكون مساحته = 13 × 5 = 65 سم مربع

مجموع المساحات المشغوله فى الشكل الأول = 5 (مثلث أخضر) + 15 (الشكلان الغير منتظمان) + 12 (مثلث أحمر) = 32 سم مربع

مجموع المساحات الفارغة فى الشكل الأول = 5 (مكمل المثلث أخضر) + 16 (الفراغ المظلل) + 12 (مكمل المثلث أحمر) = 33 سم مربع

32 + 33 = 65 سم مربع

مجموع المساحات المشغوله فى الشكل الثانى = 5 (مثلث أخضر) + 16 (الشكلان الغير منتظمان "15 + 1") + 12 (مثلث أحمر) = 33 سم مربع

مجموع المساحات الفارغة فى الشكل الثانى = 5 (مكمل المثلث أخضر) + 15 (الفراغ المظلل) + 12 (مكمل المثلث أحمر) = 32 سم مربع

33 + 32 = 65 سم مربع

عماد حمدي احمد كتب:

ان احد المثلثات كما بالشكل التالى , تم تقسيمه الى مجموعة اجزاء , وعند اعادة ترتيب اجزاءه مع الحفاظ على شكل المثلث الخارجى , حدثت فجوه !!!

السلام عليكــم ورحمـة الله وبركاتــه

صراحة انا منبهر من كل المشاركات فى هذا الموضوع. لقد كانت المسأله بالنسبة لى قبل مشاركاتكم بسيطة الحل (وهى فعلا) ولكنى لم اتطرق لكل هذا الكم من التحليل مثل حضراتكم. ولذا دعونى احييكم جميعا.

بالفعل اخوانى الافاضل , كل المشكله تكمن فى وتر المثلث الكبير , كما اشار معظمكم. ولكن الخطأ الوحيد الموجود هو اعتقاد الجميع بان هذا الوتر عبارة عن قطعتين مستقيمتان منفصلتان. لان هذا غير حقيقى ,واعتقد واضح جدا جدا للعين المجرده , انه لا يوجد فصل بين الجزئين (وتر المثلث الاخضر ووتر المثلث الاحمر).

اذا كان فعليا المشكله تكمن فى الوتر للمثلث الكبير , وفى نفس الوقت هو غير منفصل لجزئين مختلفين. اذا كيف يجتمع هذا وذاك؟

لانه ببساطه وتر المثلث الكبير ليس قطعه مستقيمه اصلا. ولكنه قوس من دائرة نصف قطرها كبير نسبيا. دعونى اوضح لكم الخدعه بشكل اوضح. فى الشكل التالى رسمت المثلث الاصلى ABC ذات الحدود السوداء. ورسمت قوس دائرة احمر اللون مقعر لداخل المثلث , واخر اخضر اللون محدب لاعلى المثلث. طبعا زودت التقوس لتلاحظوه فقط

واين الخدعه الرياضية هنا؟ الخدعه تكمن فى استخدامه قوس مقعر لاسفل بديل عن الوتر الاصلى فى الشكل الاول ,ليجعل هذا القوس يتقاطع مع النقطه

D (انظر ش2) لان الوتر الاصلى مرتفع عنها قليلا , وبالتالى يخيل للمشاهد ان المثلث الصغير اطوال اضلاع الزاوية القائمة له هى 2 راسى و 5 افقى. واطوال اضلاع الزاوية القائمة للمثلث الكبير هى 3 راسى و 8 افقى. وطبعا فى هذه الحالة المثلث الكبير الناتج سيكون اقل فى المساحه بمقدار ما من المثلث الاصلى.

اما فى الحالة الثانية , عندما اراد تبديل وضع المثلثين ,فقد قام باستخدام قوس دائرة مقعر لاعلى كبديل عن الوتر الاصلى. ولكن لماذا؟ ايضا لكى يخدع المشاهد بان يجعل القوس الجديد يمر بالنقطه E (انظر ش3) ليوهم الشخص بان المثلث الكبير مازال يحتفظ باطوال اضلاعه القائمة القديمه كما هى اى 3 راسى و8 افقى. وكمان يوهمه بان المثلث الصغير اطوال اضلاعه هى هى 2 راسى و 5 افقى. وبالتالى فالمثلث الجديد اكبر فى المساحة بمقدار ما من المثلث الاصلى. ومن هنا زادت حدثت الفجوة كفرق بين الشكل الجديد والشكل القديم.

مع انه لو امعنا النظر فى الشكل الاول ,لوجدنا القوس الاول يقطع من الافقى مسافه مقدارها 7.5 وحده تقريبا وذلك على ارتفاع وحدتين من قاعدة المثلث الكبير (ش4). فى حين انه فى الشكل الثانى فانه القوس الجديد يقطع من الافقى مسافه مقدارها 8 وحدات على نفس الارتفاع اى على ارتفاع وحدتين (ش5).

الخلاصه: انه كبديل عن الوتر كقطعه مستقيمه , تم استخدام قوسى دائرتين كبيرتين ليتم التلاعب بالمسافات الافقية والراسية حتى لا يلاحظ المشاهد ان هناك انكسار فى الوتر فى حالة استخدام قطعتين مستقيمتين.

اما عن التحليل الرياضى , فانتم فيكم الخير , قلتم اكثر من المطلوب.

بالله التوفيق,,,

ASPHP كتب:

الشكل ليس مثلث اساساً

بالضبط اخى الفاضل فالشكل ليس مثلث. ولا حتى شكل رباعى. انه مثلث ذو ضلع مقوس. يمكن تسميته مجازة مثلث كرى.

وللمعلومه: فالمثلث الكرى هو المثلث الذى نقوم برسمه على سطح دائرة. وله قوانين خاصه فى التعامل بخلاف المثلث المستوى.

بالله التوفيق ,,,

معذرة اخى عماد ... ولكنى غير مقتنع بتفسيرك للأسباب الاتية:

1) سواء كان الوتر مستقيم ام دائرى، فهذا لن يؤثر فى المثلثات القئمة لأنها مازالت محتفظة بنفس الطول ونفس العرض، كذلك لن يؤثر فى مساحات الاشكال الغير المنتظمة الداخلية، ولكن المؤثر هو زاوية الميل (سواء وتر مستقيم أو دائرى: اى دائرتين بمركزين مختلفين، وهذا يؤل إلى نفس النتيجه -> زاوية التقاطع قى المثلثين مختلفه => الشكل ليس مثلث وليس مثلث كروى ولكن الشكل هو شكل رباعى ، وإذا كان غير ذلك ارجوا التوضيح بمثال واضح بالارقام)، ساطرح الصور مره أخرى للتوضيح.

2) فى الشكلين الذى تفضلت وطرحتهم (ش4) و(ش5)، فاختلاف احداثيات النقطه D فى (نقطة ذيل المثلث العلوى وراس المثلث السفلى) ، ينتج فقط نتيجة اختلاف ميل المستقيم (اى النقطه تحقق معادلته) فى حاله ولا تحقق معادلته فى الحاله الثانية، (سواء معادلة مستقيم أو معادلة دائرة)، وهذا يعنى أنهم مستقيمين مختلفين بزاويتين مختلفين ومعادلتى مستقيم مختلفين، (او قطعين دائريين مختلفين بزاويتين مختلفين ومعادلتى دائرة مختلفين).

3) انت ذكرت فى طرحك الاصلى (مشاركة 1)

اقتباس

تم تقسيمه الى مجموعة اجزاء , وعند اعادة ترتيب اجزاءه

4) عند تكبير المثلث الاخضر منفصل وتكبير المثلث الاحمر منفصل واستخدام برنامج الرسام mspaint لرسم خط موازى للوتر ، وجدت أن الوتر خط مستقيم، وإذا كان جزء من دائرة كبيره (نصف قطرها 1000 وحدة) يمكن اعتباره خط مستقيم

5) انت تحدثت فى المشاركة (1) عن إعادة تقسم وليس إعادة رسم

عماد حمدي احمد كتب:

استخدامه قوس مقعر لاسفل بديل عن الوتر الاصلى فى الشكل الاول ,ليجعل هذا القوس يتقاطع مع النقطه

D (انظر ش2) لان الوتر الاصلى مرتفع عنها قليلا , وبالتالى يخيل للمشاهد ان المثلث الصغير اطوال اضلاع الزاوية القائمة له هى 2 راسى و 5 افقى. واطوال اضلاع الزاوية القائمة للمثلث الكبير هى 3 راسى و 8 افقى. وطبعا فى هذه الحالة المثلث الكبير الناتج سيكون اقل فى المساحه بمقدار ما من المثلث الاصلى.

اما فى الحالة الثانية , عندما اراد تبديل وضع المثلثين ,فقد قام باستخدام قوس دائرة مقعر لاعلى كبديل عن الوتر الاصلى.

6) إذا كان الشكل مثلث كرى، فما الخطأ الهندسى فى ذلك؟

7) إذا كان الوتر قوس دائرى، فلن تختلف المساحة بإعادة التقسيم، ولكن ستختلف إذا كان الوتر عباره عن مستقيمين بميلين مختلفين (اعنى شكل رباعى، وليس مثلث او مثلث كرى).

8) بإفتراض ان كل وحدة تساوى = 1 سم - ارجوا طرح حل رياضى يتضمن حساب (i) نصف قطر الدائرة - ii) زاوية ميل الوتر للمثلثين عند نقطة التقاطع، والموضحة بالحروف a و b فى حلى السابق -iii) مساحة كل مثلث)

شكراً جزيلا على اللغز ... وفى انتظار حل رياضى مقنع (بالمعادلات والارقام)

الاشكال الموجوده سابقا هي مثلثات 100%

والدليل قمت برسم الاشكل بنفسي وكانت النتيجه

ولكن الحل هو ان الزاويه a,b,c مختلفة القيمة

بحسبه بسيطه

بفرض ان كل وحده - مربع في الرسم - عباره عن 1 سم

يمكننا ايجاد الزوايا a,b,c باستخدام معكوس tan كما ذكر بعض الاخوان

وللمعلوميه فقد اخطأت بحسابها في السابق بإحتساب sin لانه لا يمكن حسابها بـ sin , cos إلا في حال وجود طول الوتر

ويمكننا ايجاد الوتر بمعادلة فيثاغورس .لمن يرغب

وبعد حساب الزاوايا a,b,c باستخدام معكوس tan نجد ان :

المثلث الاخضر

tan( c )=5/2

c=68.20 درجه تقريبا

المثلث الحمر

tan( b )=8/3

b=69.44 درجه تقريبا

المثلث الازرق

tan( a )=13/5

a=68.96 درجه تقريبا

ومن هنا يتضح لنا ان هناك انحراف بين المثلث الاحمر والمثلث الاخضر لا يمكن للعين تمميزه

وهذا الشكل الموضح فيه الزوايا a,b,c

وايضا قمت برسم الاشكال السابقه بالورود لكي تروا القياسات الصحيحه بالسانتيمتر

21.rar

السلام عليكم ورحمة الله

سامحكم الله اخوى ASPHP و voo

ضيعتوا منى يومين فى هذه المسأله :) وانا احاول اجد اثبات رياضى بالارقام كما طلب الاخ ASPHP , ولكن للاسف فشلت فى ذلك :):):)

كنت متخيل ان وتر المثلث الكبير قوس دائرة ويتم تغييره ليتلائم مع الوضع الجديد. وطبعا حساب مركز الدائرة ونصف قطرها من اسهل ما يكون وذلك بمعلومية ثلاث نقاط عليها. ومن ثم يمكن حساب مساحة الشكل الناتج (المثلث الكرى حسب تصورى) بسهوله. ولكنى لم اجرى تلك الحسابات فعليا لثقتى الزائفه فى نفسى :):):) والذى اعطانى هذه الثقه عدم قدرتى على اكتشاف خلاف بين القطعتين المستقيمتين بالعين المجرده. ومنها خمنت انها قوس دائرة.

ولكن لما قمت بالفعل بعمل كل تلك الحسابات اكتشفت حسب تصورى الخاطئ ان المساحة فى الشكل الاول هى 31.7972 وحدة مساحات , والمساحة فى الشكل الثانى هى 33.2028 وحدة مساحات (طبعا المساحات محسوبه حسب تصورى بان الوتر عباره عن قوس). وبالطرح نجد ان الفرق فى المساحة يساوى 1.4056 وحدة مساحات. وطبعا هذا خطأ لانه المفروض حسب الرسم ان الفرق فى المساحات هو 1 وحدة مساحات.

وبالتالى بالتحليل الرياضى السليم فالكلام المنطقى جدا هو كلام الاخوين ASPHP و voo (لديكم حس هندسى عالى جدا :)). الا ان الاخ voo لديه خطأ لغوى واحد وهو

اقتباس

الاشكال الموجوده سابقا هي مثلثات 100%

كلام مضبوط على المثلثين الصغيرين. ولكن الشكل الكبير ليس مثلث , لانك ببساطه اثبت ان اضلاعه ليست على استقامه واحده , وبالتالى فهو ليس مثلث بل "شكل رباعى" كما تفضل اخونا ASPHP

لم ارفق الحلول والشخبطه اللى انا عملتها , وذلك للاختصار.

بارك الله فيكم ,,,

نعم اخي عماد انا كنت اقصد المثلث الاحمر والاخضر والازرق

اما الشكل الناتج من دمج الاشكال فهو كما اسلفت