• 0
Khaled Alshaya

لغز لإثبات مسألة سهلة ممتنعة

سؤال

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته...

بداية, أي شخص يمكن أن يضع حله مباشرة في الموضوع, و لاحاجة للرسائل الخاصة :)

هل تستطيع إثبات التالي...

افتراض أن لدينا خمس نقاط مختلفة في المستوي الثنائي, و جميع تلك النقاط ممثلة بإحداثي سيني صحيح و إحداثي صادي صحيح:

LaTeX
p><p>

أثبت أنه لا بد أن توجد نقطة منتصف Mid Point واحدة على الأقل بين زوج من تلك النقاط, هي الأخرى تكون إحداثياتها صحيحة, بحيث أن الإحداثي السيني و الإحداثي الصادي لنقطة المنتصف تلك ينتميان للأعداد الصحيحة أيضاً. الـ Mid Point لأي نقطتين هي في المستوي الثنائي:

LaTeX
mimetex.cgi?(X_m, Y_m) = ((X_1+X_2) \div

إذا استطعت حل الشق الأول من السؤال, فيمكن حل الشق الثاني بسهولة أيضاً. افترض أنك معطى عدد الأبعاد Dimensions (بعدان كما في الشق الأول) و لنسمي عدد الأبعاد n. هل تستطيع إيجاد العلاقة بين عدد الأبعاد و بين أقل عدد من النقاط الصحيحة المطلوبة لكي نضمن وجود نقطة منتصف واحدة على الأقل هي الأخرى صحيحة بين زوج من تلك النقاط المعطاة في البعد n.

تحياتي...

تم تعديل بواسطه Khaled.Alshaya
2

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه

16 إجابة على هذا السؤال .

  • 0

وصلت لحل الشقين ، ولكنى لن أضع الحل لأترك المجال للأخوة.

ولا أظن أن هذه المسألة سهلة ممتنعة ، أظنها سهلة فقط :)

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

أهلاً أستاذي,

إن كنت تحب أن تتكرم بإعطاء الأخوة وقتاً إضافياً فلا مانع. إضافة إلى أن كلامي كان موجهاً للطلاب و ليس لأساتذتنا في المنتدى :P

تم تعديل بواسطه Khaled.Alshaya
0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

أهلاً أستاذي,

إن كنت تحب أن تتكرم بإعطاء الأخوة وقتاً إضافياً فلا مانع. إضافة إلى كلامي كان موجهاً للطلاب و ليس لأساتذتنا في المنتدى :P

بارك الله فيك وبارك لك ، وشكرا على مجاملاتك وكلامك الرقيق. اتمنى من الله عز وجل أن اكون عند حسن ظنك بى.

سأترك المجال للأخوة للتفكير والإستمتاع بحل المسألة. ويمكنك حذف أو إخفاء هذه المشاركة لو كانت لديك صلاحيات إشرافية ،،،

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

توصلت لحل السؤالين :)

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

حللت الشقين :)

تحياتي

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

أهلاً بالأخوة,

يبدو أنه لا داع بعد الآن لحبس الحلول, ضعوها رجاءً و في المرة القادمة سنأتي بسؤال سهل ممتنع حقيقي و ليس مزيف كهذا :lol:

تحياتي...

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

يمكن حل السؤال الأول بإستعمال عدة طرق، من بينها البرهان بالخُلْف (البرهان بنقض الفرض). سنفترض بأنه لا توجد نقطتان تحققان الشرط المطلوب.

نبدأ بالنقطتين 1 و 2، إحداثياتهما السينية أو الصادية من زوجية مختلفة بالضرورة، سنفترض أن mimetex.cgi?x_1 زوجي و mimetex.cgi?x_2 فردي، طالما أنهما يلعبان دورا تماثليا.

نستمر هكذا بإستعمال إفتراض الخلف، فنجد في النهاية أن إحداثيات أربع نقط هي:

زوجي زوجي

فردي فردي

فردي زوجي

زوجي فردي

سنجد تناقضا مع كل حالة ممكنة لإحداثيتي النقطة الخامسة. إذن الإفتراض خاطئ، ومنه توجد على الأقل نقطتان بحيث تكون إحداثيتا منتصف القطعة المحددة بهما أعدادا صحيحة.

سأدع السؤال الثاني للآخرين.

خالص التقدير،، :)

1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

أظن أني وجدت الحل للسؤالين منذ البارحة ... لكني غير مقتنع تماماً كيف ... وهل هو إثبات أم هو مجرد "حدس" رياضي

هذه المشكلة دائماً ما تواجهني، أدرك أنه الحل الصحيح لكني لا أجد طريقة متصلة ومتناسقة لإثبات ذلك ...

السؤال الثاني حله n > x^2 تصحيح: n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

إذا أردتم أكتب لكم طريقة إثياتي الفاشل :D

تم تعديل بواسطه Speed_Of_Light
0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

السؤال الثاني حله n > x^2

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

فى حالة بعد واحد (خط الأعداد الحقيقة) فإن x=1 وعليه باستخدام قانونك يكون اى عدد n>1 من النقاط يصلح ان يحقق المطلوب ، وهذا بالطبع خطأ لانه عندما تكون n=2 يمكننا ايجاد نقطتين احدهما فردى والأخري زوجى وبالتالى والنقطه فى منتصفهما عدد غير صحيح. مثال النقتطين x1=2 و x2=3.

وكذلك فى حالة x=3 فإنه حسب قانونك لابد ان تكون عدد النقاط اكبر من 9 ، وهذا ايضا خطأ ، لأن 9 نقاط تكفى لتضمن انه يوجد على الأقل نقطتين تكون احداثيات نقطة المنتصف بينهما اعداد صحيحة.

الخلاصة: حلك خطأ :P

هذا والله اعلى واعلم ،،،

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

لدي إستفسار بسيط ! يوجد شيء ضائع ولا أستطيع فهم المشكلة .. لذلك إعذروني :blush:

إفترض النقطتين بالإحداثيات x,y كالتالي :

LaTeX
p><p>

أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

لم أجد شرط عدم تكرار الإحداثي بين x و y في السؤال , وكلمة نقاط مختلفة تعني أنها ليست مكرة , يعني 3,3 و أخرى 3,3 ؟

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

أهلاً هيثم,

أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

من المؤكد أنه قد يوجد نقطة منتصف صحيحة بين نقطتين معينتين. و لكن السؤال يقصد أن خمس نقاط في المستوي الثنائي هي بالفعل كافية لضمان وجود نقطة منتصف صحيحة على الأقل بين زوج من النقاط المعطاة دون حتى معرفة النقاط المعطاة مادمنا نعرف أنها مختلفة.

1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

اسمح لى اخى خالد بإعطاء مثال

لدي إستفسار بسيط ! يوجد شيء ضائع ولا أستطيع فهم المشكلة .. لذلك إعذروني :blush:

إفترض النقطتين بالإحداثيات x,y كالتالي :

LaTeX
p><p>

أليست نقطة المنتصف هي 4,4 ؟

لم أجد شرط عدم تكرار الإحداثي بين x و y في السؤال , وكلمة نقاط مختلفة تعني أنها ليست مكرة , يعني 3,3 و أخرى 3,3 ؟

نعم أخى هيثم كلامك مضبوط ، ولكن لو تخيلنا النقطتين هما

LaTeX
p><p>

عندها فلن يكون احداثيات نقطة المنتصف اعداد صحيحة. وبالتالى لا نستطيع ان نجزم انه لأى نقطتين ذات احداثيات صحيحة فى المستوى فإن النقطة فى منتصفهما تكون ايضا ذات الحداثيات صحيحة. والسؤال هنا كم عدد النقاط الذى نستطيع عنده الجزم بأنه بالتأكيد سيكون هناك زوج من هذه النقاط يحقق ان احداثيات نقطة المنتصف صحيحة.

والمطلوب فى السؤال هنا ، هو إثبات أن اقل عدد من النقاط الذى يحقق الشرط السابق هو 5 :)

3

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

جميل جدا فهمت الموضوع .. :)

إذن الموضوع بإختصار يجب أن يتكرر نوع الإحداثيات لتضمن وجود نقطة منتصف عدد زوجي صحيح .. وتكرر الإحداثيات المقصود به أن توجد نقطة أخرى إحداثياتها في بعدين أو 3 أو n بعد بحيث تكون بالضبط كنقطة أخرى موجودة , يعني

point1 = زوجي, زوجي, فردي , زوجي , فردي

point7 = زوجي , زوجي , فردي , زوجي , فردي

هنا نقول أن هناك نقطة منتصف صحيحة بالتأكيد ..

ولنحصل على عدد التبديلات الأقصى الذي نضمن فيه كل الإحتمالات الممكنة , نحتاج ل mimetex.cgi?2^n نقطة في n بعد , والنقطة التالية"+1" ستحقق وجود نقطة تحقق نقطة منتصف مع نقطة أخرى إحداثياتها صحيحة ..

بالتالي نحتاج ل

LaTeX
mimetex.cgi?2^n+1

نقطة في n بعد .

3

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

حقاً.. المسألة قد تكون سهلة.. و غير ممتنعة..

و لكنها هامة (مسألة حلوة   :) )..

لنحاول المساهمة في إثراء الموضوع..

ما هي علاقة هذه المسألة بمبدأ برج الحمام Pigeonhole principle أو مبدأ ديريتشلت Dirichlet's box principle، و أيضاً بكل من:

مبرهنة سيجيل Siegel's lemma في نظرية الأعداد المتسامية transcendental number theory.

مفارقة الفندق الضخم لديفيد هيلبرت Hilbert's paradox of the Grand Hotel.

مسلمة الإختيار the axiom of choice في نظرية الفئات المسلماتية ZFC.

و غيرهـا..؟

1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

كان خطأً كتابياً !!

قصدت n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

2

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

كان خطأً كتابياً !!

قصدت n > 2^x

حيث n عدد عناصر المجموعة الأصلية

و x عدد الأبعاد

نعم أخى الكريم ، توقعت ذلك بعد ان وضعت ردى عليك. بارك الله فيك وبارك لك ،،،

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه

من فضلك سجل دخول لتتمكن من التعليق

ستتمكن من اضافه تعليقات بعد التسجيل



سجل دخولك الان

  • يستعرض القسم حالياً   0 members

    لا يوجد أعضاء مسجلين يشاهدون هذه الصفحة .