• 0
caballero

بعض أشكال البراهين الرياضية

سؤال

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

من بين أنواع الإستدلالات الرياضية نجد البرهان بالمثال المضاد، والبرهان بالخلف، والبرهان بالتكافؤات المتتالية، والبرهان بالإستلزام المضاد للعكس، والبرهان بفصل الحالات، والبرهان بالترجع... وهي التي سنتناولها بشكل مبسط في هذا الموضوع.

قبل الشروع في القراءة أنصحك بمراجعة ملخص درس مبادئ في المنطق.

1. البرهان بالمثال المضاد:

للبرهان على خطإ العبارة

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20E)%

نبين صحة نفيها

mimetex.cgi?(%5Cexists%20x%20%5Cin%20E)%

مثال:

لنبين أن العبارة P

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C

خاطئة.

نفي العبارة P هو:

mimetex.cgi?(%5Cexists%20x%20%5Cin%20%5C

نبين أنه يوجد على الأقل عنصران x و y بحيث 2x-4y=5

نأخذ مثلا x=5/2 و y=0

لدينا

mimetex.cgi?2%5Ctimes%5Cfrac%7B5%7D%7B2%

ومنه العبارة P¬ صحيحة. إذن العبارة P خاطئة.

تطبيقات:

بين بإستعمال البرهان بالمثال المضاد أن العبارات التالية خاطئة.

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5D

2. البرهان بالخلف:

خاصية:

لتكن P و Q عبارتين.

العبارة التالية قانون منطقي:

mimetex.cgi?%5B(%5Crceil%20P%20%5CLongri

لكي نبين أن عبارة P صحيحة:

نفترض أن P¬ صحيحة ونبين أن P⇒Q ¬ إستلزام صحيح وأن Q¬ عبارة صحيحة. وتكون (Q و Q¬) صحيحة ونحصل على تناقض.

مثال:

لنبين أن 2 ليس مربعا لعدد جذري.

mimetex.cgi?%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cnotin%20

نفترض أنه يوجد عدد جذري x موجب يحقق x²=2

بما أن x عدد جذري موجب فيمكن كتابته على الشكل

mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D

حيث p و q عددان صحيحان طبيعيان أوليان فيما بينهما (قاسمهما المشترك الأكبر هو 1)

و q غير منعدم

لدينا

mimetex.cgi?x%5E2=2

يعني

mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7Bq%5E2%7

و منه

mimetex.cgi?p%5E2=2q%5E2

إذن p² عدد زوجي و بالتالي p عدد زوجي، أي p=2k بحيث k عدد صحيح طبيعي.

و منه

mimetex.cgi?(2k)%5E2=2q%5E2

اي

mimetex.cgi?4k%5E2=2q%5E2

mimetex.cgi?2k%5E2=q%5E2

إذن q² عدد زوجي و بالتالي q عدد زوجي.

و هذا غير ممكن (تناقض) لأن p و q عددان أوليان فيما بينهما (لا يمكن أن يكون p و q زوجيين في آن واحد)

و بالتالي x ليس عددا جذريا.

طريقة أخرى

تطبيقات:

1. نعتبر المثلث ABC بحيث أطوال أضلاعه هي 4a و 3a و 6a.

(و a>0)

بين أن المثلث ABC غير قائم الزاوية.

2. ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين بحيث a>b

بين أن

mimetex.cgi?%5Cfrac%7Ba%5E2+b%5E2%7D%7Ba

نكمل الدرس بعد تصحيح التمارين التطبيقية.

تم تعديل بواسطه caballero
1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه

12 إجابة على هذا السؤال .

  • 0
تم تعديل بواسطه caballero
1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

ألف شكر ليك أخى الكريم على هذا الموضوع الهام والمفيد

لكن هل يمكن عمل برنامج بالفيجول يتناول هذا الموضوع

أكرر شكري لك

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0
لكن هل يمكن عمل برنامج بالفيجول يتناول هذا الموضوع

ماذا ستكون وظيفة البرنامج؟

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

3. البرهان بالتكافؤات المتتالية:

لتكن P و R1 و R2 و ... و Rn و Q عبارات.

إذا كان

mimetex.cgi?%5C.%5Carray%7Brcl$P%20%5CLo

و Q عبارة صحيحة فإن P عبارة صحيحة.

عمليا: للبرهان على صحة عبارة P ما، نبرهن على صحة التكافؤات المتتالية P ⇔ R1 و R1 ⇔ R2 و ... و Rn ⇔ Q

حيث Q عبارة صحيحة ثم نستنتج أن التكافؤ P ⇔ Q صحيح إذن P عبارة صحيحة أيضا.

مثال:

حدد جميع الأزواج (x,y) من Z² حيث x²=4y²

mimetex.cgi?x%5E2=4y%5E2

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20(x-2

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x-2y

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x=2y

إذن مجموعة الحلول S هي

y%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%7D

تطبيقات:

1. ليكن x عددا حقيقيا.

بين أن

mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C

2. حدد العددين x و y بحيث:

mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B

4. البرهان بالإستلزام المضاد للعكس:

لتكن P و Q عبارتين.

العبارة التالية قانون منطقي:

mimetex.cgi?(P%20%5CLongrightarrow%20Q)%

الإستلزامان P⇒Q و Q⇒¬P¬ متكافئان.

الإستلزام Q⇒¬P¬ يسمى الإستلزام المضاد للعكس للإستلزام P⇒Q.

إذا كان في بعض الوضعيات يصعب البرهان مباشرة على صحة الإستلزام P⇒Q، فإنه يمكن أن نبرهن على صحة الإستلزام المضاد للعكس Q⇒¬P¬ ثم نستنتج أن P⇒Q

مثال:

لنبين أن

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

mimetex.cgi?%5Csqrt%7B1+x%7D=1+%5Cfrac%7

لدينا

mimetex.cgi?%5Csqrt%7B1+x%7D=1+%5Cfrac%7

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20%5Cfrac%

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x%5E2%20

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x%20=%20

ومنه

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5C

تطبيقات:

1. بين أن

mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5

2. بين أن

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat
تم تعديل بواسطه caballero
1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

تصحيح التمارين:

1.1). ليكن x عددا حقيقيا.

لنبين أن

mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C

لدينا

mimetex.cgi?%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B1

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x%5E

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x%5E

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x%5C

وبالتالي

mimetex.cgi?(x%5Cneq%5Csqrt%7B3%7D%20%5C

2.1). لنحدد العددين x و y بحيث:

mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B

لدينا

mimetex.cgi?%5Csqrt%7Bx-1%7D+2%5Csqrt%7B

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20(%5C

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20%5Cs

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20%5Cs

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x-1=

mimetex.cgi?%5CLongleftrightarrow%20x=2%

1.2). لنبين أن

mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr

لدينا

mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20(x-y)(x+

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20(x-y)(x+

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x-y=0%20

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x=y%20%5

لدينا

mimetex.cgi?x

ومنه

mimetex.cgi?x%5E2-2x=y%5E2-2y%20%5CLongr

وبالتالي

mimetex.cgi?(%5Cforall(x,y)%5Cin%5D1;+%5

2.2). لنبين أن

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat

بإستعمال البرهان بالإستلزام المضاد للعكس، يكفي أن نبين أن:

mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%5Csqrt%7

لدينا

mimetex.cgi?%5Cfrac%7B1%7D%7B1+%5Csqrt%7

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%201-x=1

mimetex.cgi?%5CLongrightarrow%20x=0

وبالتالي

mimetex.cgi?(%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmat
تم تعديل بواسطه caballero
1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

جيد أن أعرف أن هناك متابعين للموضوع :D

بالنسبة للمصطلحات، فأنا أستعمل المصطلحات المعتمدة في المغرب وكما يبدو فهي غير مفهومة في باقي الدول العربية. يكفي أن تحدد الكلمات الغامضة وسأقوم بوضع مقابل لها باللغتين الإنجليزية والفرنسية.

ملحوظة فى pdf المرفق الحجدول بتاع النفى خاطىء ياريت تصححة حتى لا يتوة الاعضاء

فعلا الجدول خاطئ، والمفروض أن يكون هكذا

mimetex.cgi?4$%5C.%5Cbegin%7Btabular%7D%

لست أنا من قام بكتابة ملف PDF، سأحاول أن أراسل كاتبه وأنبهه إلى الخطأ.

اذا حضرتك بتعرف فى الاحتمالات ياريت بتشرح الاحتمالات والتوزيعات الرياضية وانا بقوم بوضع الكود لها

بكل سرور. لكن هل تقصد حساب الإحتمالات أم التعداد؟

تم تعديل بواسطه caballero
1

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

السلام عليكم ورحمة الله

أخى الفاضل caballero

انا من المتابعين الدائمين والمهتمين بالموضوع. بس مش لاقى كلام اقوله ههههههه.

مكتفى بالاستمتاع بقراءة مشاركاتك فقط. لكن فعلا انا متابع خطوة بخطوة.

والله يوفقك ويكرمك ,,,

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

وعليكم السلام

أخي dr_abdalrhman

قمت بتعديل المشاركة الأولى، فيها ستجد ترجمة للمصطلحات باللغة الإنجليزية، بإستثناء (البرهان بالتكافؤات المتتالية). أعرف إسمه بالفرنسية Raisonnement circulaire ولكن لا أعرف مقابله بالإنجليزية. جاري البحث...

أخي عماد

سنكون سعداء بإضافاتك في هذا الموضوع :)

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0
2

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

يبدو ان هناك الكثير من الاشياء التي حدثت في الفترة التي تغيبت فيها

Proof.rar

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

merci merci merci merci merci.......................... t'es le meilleur........................rabi ywaf9ak nchallah.

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه
  • 0

موضوع مهم جدا وقد احتاجه في المستقبل القريب

0

شارك هذا الرد


رابط المشاركة
شارك الرد من خلال المواقع ادناه

من فضلك سجل دخول لتتمكن من التعليق

ستتمكن من اضافه تعليقات بعد التسجيل



سجل دخولك الان

  • يستعرض القسم حالياً   0 members

    لا يوجد أعضاء مسجلين يشاهدون هذه الصفحة .